Kunci Jawaban Ujian Sekolah (US/UN) Matematika Kelas 6 SD/MI 17 Mei 2016 Utama

Kunci Jawaban Soal Ujian Sekolah/Ujian Nasional (US/UN) Asli Utama SD-MI Tujuh Belas Mei 2016 Matematika paket 2 ( kode P2 ) Jawa Tengah yang sudah diujikan pada tanggal 17 Mei 2016 _Siswa kelas 6 Sekolah Dasar/Madrasah sudah mulai lega. pasalnya mereka sudah mengerjakan soal Ujian Sekolah Mata Pelajaran Matematika tahun pelajaran 2015/2016. Selain para siswa, para guru dan orang tua/wali siswa kelas 6 SD/MI juga ikut merasa lega walaupun pengumuman nilai hasil ujian sekolah baru bisa didapatkan secara resmi pada bulan Juni 2016. Mereka sudah cukup lega karena mayoritas siswa peserta US/UN SD 2016 disuruh menyalin hasil jawaban sebelum lembar jawaban ujian dikumpulkan ke pengawas/panitia ujian. Setelah US selesai, para guru (khususnya guru kelas 6)  mayoritas langsung membuat kunci jawaban us/un sebagai dasar untuk mencocokkan hasil pekerjaan siswa, yang selanjutnya guru mengoreksi lembar jawab salinan tersebut.

Dengan demikian, paling tidak para guru dan siswa serta orang tua/wali murid sudah memiliki gambaran dan/atau mengetahui tentang nilai yang diperoleh oleh siswa kelas 6 SD/MI dan seperti pengalaman tahun-tahun sebelumnya, biasanya nilai prediksi US dengan nilai resmi tidak meleset, misalnya ada yang meleset ya paling selisih sedikit.

Kunci Jawaban US/UN SD-MI Matematika 17 Mei 2016 Paket 2 Jateng:

1. C
2. D
3. B
4. D
5. C
6. B
7. A
8. C
9. B
10. C
11. D
12. A
13. A
14. D
15. D
16. A
17. A
18. B
19. C
20. D
21. B
22. C
23. B
24. C
25. C
26. C
27. B
28. B
29. D
30. A
31. C
32. D
33. D
34. A
35. C
36. D
37. C
38. A
39. C
40. D

Demikian tentang Kunci Jawaban Ujian Sekolah (US) atau Ujian Nasional (UN) Mata Pelajaran Matematika Kelas 6 SD/MI 2016 Utama. Semoga arsip kunci jawaban US SD 2016 Matematika ini juga bisa bermanfaat bagi siswa kelas 6 SD/MI 2016-2017-2018. baca juga Cara Mudah Menentukan Kelipatan Bilangan Bulat Positif

Rangkuman Materi Memahami Rumus Segitiga Pascal dalam Matematika Lengkap

Rumus Segitiga Pascal dalam Matematika -  Segitiga pascal merupakan sebuah aturan geometri yang berisi susunan koefisien binomial yang bentuknya menyerupai segitiga. Manfaat dari segitiga pascal ini salah satunya yaitu untuk menyelesaikan soal perpangkatan dengan cepat, dari segitiga pascal ini kita tidak perlu mengalikan bilangan satu persatu tetapi bisa langsung mengetahui koefisien dari penyelesaian soal perpangkatan.
Perhatikan gambar segitiga pascal berikut ini :

Lima barisan pertama pada segitiga pascal

Dari gambar segitiga pascal di atas, bisa kita lihat bahwa puncak bagian teratas baris ke - 0 diisi dengan angka 1. Kemudian di bawahnya (baris ke - 1) diisi dengan angka 1 dan 1. Kemudian baris selanjutnya (baris ke - 2) masih diisi dengan angka 1 dan 1 dibagian sisinya kemudian pada bagian dalam diisi dengan hasil dari penjumlahan dua bilangan yang ada di atasnya yaitu 1+1=2.

Untuk baris ke - 3 diisi dengan angka 1 dan 1 pada bagian sisi kemudian bagian tengahnya diisi dengan hasil dari penjumlahan dua bilangan yang ada pada baris ke - 2 yaitu 1+2=3. Kemudian baris keempat (angka 4) dihasilkan dari penjumlahan dua bilangan yang ada di atasnya, yaitu 1+3=4 begitu juga angka 6 dihasilkan dari penjumlahan dua bilangan yang ada di atasnya yaitu 3+3=6, dan seterusnya.

Rumus Segitiga Pascal

Penyederhanaan bentuk  merupakan koefisien dari setiap baris segitiga pascal, yang apabila dijabarkan maka akan terlihat bahwa koefisien yang diperoleh dari bentuk tersebut sama persis dengan bilangan yang ada pada setiap baris segitiga pascal di atas.
Untuk lebih jelasnya perhatikan bentuk penyederhanaan berikut :

1.  (a + b)¹ = a + b → Koefisiennya adalah 1 dan 1
2. (a + b)² = a² + 2ab + b² → Koefisiennya adalah 1, 2, dan 1 
3. (a + b)³ = (a + b) (a² +2ab + b²⁾
                   = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
                   = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ → Koefisiennya adalah 1, 3, 3, dan 1

Semua bilangan di atas merupakan koefisien dari expansi pangkat binomial,
Perhatikan contoh berikut :

(x + y)⁴ = x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴

dari contoh tersebut, pada i = 4 diperoleh koefisien dari expansi pangkat binomial 4 yaitu 1, 4, 6, 4, dan 1 yang merupakan bilangan - bilangan yang mengisi baris ke - 4 pada segitiga pascal.
Perhatikan teorema binomial berikut :

               

Dari uraian di atas, secara umum bisa disimpulkan bahwa barisan bilangan pada baris i = k dalam segitiga pascal dapat dituliskan menjadi :

 

Lebih jelasnya, kita ambil contoh dari bilangan ke - 2 dan ke - 3 pada baris ke - 5 dalam segitiga pascal, sehingga :

Berdasarkan pola di atas diperoleh rumus baru yang bisa digunakan untuk menentukan bilangan a_i,j yang merupakan bilangan pada baris ke - i dan kolom ke - j, seperti di bawah ini :

Kemudian, misalkan kita akan mencari bilangan baris ke - 7 tepat pada kolom ke - 6, maka rumusnya :

Dari penjabaran rumus di atas, barisan bilangan ke - d dapa dituliskan sebagai berikut :

Sebagai pembuktian dari rumus di atas, kita coba mencari diagonal ke - 3 yang memiliki pola n(n + 1) / 2 dalam segitiga pascal dengan d = 3, sehingga :

Demikianlah penjelasan materi tentang Rumus Segitiga Pascal dalam Matematika, semoga kalian bisa memahami materi ini dengan mudah sehingga bisa membantu kalian dalam mengerjakan soal - soal. Selamat belajar.

Rangkuman Materi Sifat - sifat Barisan Atau Deret Aritmetika Dilengkapi Pembahasan Contoh Soal Lengkap

Sifat - Sifat Barisan - Barisan bilangan merupakan susunan bilangan-bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya, sedangkan bilangan - bilangan yang membentuk suatu barisan biasa disebut dengan suku-suku barisan. Bilangan pertama atau suku pertama dalam barisan tersebut  biasa dilambangkan dengan huruf U1, suku kedua U2, suku ketiga U3, dan seterusnya. Sampai suku ke-n dengan Un (n adalah bilangan asli).
Indeks n menyatakan suku dalam barisan suku ke-n yang di lambangkan dengan Un disebut "suku umum barisan". Pada umumnya suku ke-n atau Un merupakan fungsi dengan daerah asal (domain) bilangan asli n.

Contoh barisan bilangan:
1, 2, 3, 4, 5, 6, …………Un.
Rumus umum yang bisa di gunakan untuk mencari suku ke-n atau Un dapat di tentukan dengan cara mengamati pola atau aturan tertentu yang terdapat pada tiga atau empat suku pertama dari barisan tersebut.

Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika merupakan barisan yang memiliki ciri-ciri tertentu, yaitu selisih antara dua suku yang berurutan mempunyai nilai yang tetap (konstan), sedangkan selisih dari dua suku yang berurutan disebut sebagai beda dari barisan aritmetika yang biasa dilambangkan dengan huruf b.

Contoh :
1). Untuk barisan 1, 4, 7, 10,… beda (b) = 10 – 7 = 7 – 4 = 4 – 1 = 3
2). Untuk barisan 6, 4, 2, 0,... beda (b) = 0 – 2 = 2 – 4 = 4 – 6 = -2
Kita hanya perlu mengurangkan antar suku tersebut untuk mengetahui beda dari barisan tersebut.
Sedangkan deret merupakan suku-suku beruntun dari suku-suku suatu barisan, misalkan 1, 3, 5, 7, melalui hubungan sebagai berikut :
Misalkan suatu barisan aritmetika dengan suku pertama a  dan beda b, maka rumus umumnya bisa di tentukan oleh : Un = a + (n – 1) b

Deret juga merupakan jumlah suku - suku suatu barisan yang biasa di sebut dengan penjumlahan beruntun. Misalkan U1, U2, U3,…,Un merupakan suku - suku suatu barisan yang biasa di tuliskan sebagai U1 +  U2 + U3+ …+ Un.
Dalam bentuk penjumlahan beruntun tersebut Un bisa disebut sebagai suku penjumlahan ke - n. Jika n merupakan  bilangan asli berhingga maka deret tersebut dinamakan deret berhingga. Untuk cara penulisan deret yang praktis kita bisa menuliskan tiga buah suku penjumlahan pertama yang  kemudian diikuti dengan tiga buah titik (…), dan diakhiri dengan suku penjumlahan yang terakhir.
Untuk lebih jelas dalam menghitung barisan dan deret aritmetika perhatikan pembahasan contoh soal berikut ini :

Contoh Soal Barisan Aritmetika :
a. Carilah suku pertama, beda, dan suku ke-5 dari barisan aritmetika 1, 3, 5, 7,…
b. Jika suku pertama dari barisan aritmetika sama dengan 4 dan bedanya adalah 7. Maka carilah suku ke - 10 dan suku ke berapa yang nilainya adalah 100?

Pembahasan :
Cara penyelesaiannya,
a.  Misalkan, a merupakan suku pertama, dan b (beda)
Barisan 1, 3, 5, 7.
Suku pertama   U1 = a = 1, beda "b" (untuk mencari beda kita hanya perlu mengurangkan suku kedua dengan ke satu) = 3 – 1 = 2
Suku ke 5 => U5 = a + 4b
U5 = 1 + 4(2)
U5 = 1 + 8
U5 = 9
Jadi, bisa diketahui  bahwa suku pertamanya 1, beda (b) = 2 dan juga suku kelimanya adalah 9.

b. Yang pertama kita harus mencari suku ke - 10 terlebih dahulu dengan menggunakan rumus :
Un = a + (n -1 ) b
Un = bn + (a - b)
a = 4
b = 7
Sehingga, Un = 4 + (n – 1) 7 = 7n – 5
Suku ke - 10 yaitu U10 = 7(10) – 5
                                       = 65
Jadi, suku ke - 10 nya adalah 65.
Setelah kita mengetahui suku ke - 10 barulah kita mencari suku ke berapa yang nilainya 100.
Un = 7n – 5
7n – 5 = 100
       7n = 105
         n = 105
                 7
         n = 15
Jadi, suku yang bernilai 100 adalah suku yang ke - 15.

Contoh Soal Deret Aritmetika :
a. Hitunglah jumlah 60 suku pertama dari deret - deret aritmetika 2 + 4  + 6 + 8 …
b. Hitunglah jumlah deret aritmetika berikut : 3 + 6 + 9 + … + 90
c. Diketahui suatu deret aritmetika adalah 2 + 6 + 10 + 14 + …. Maka tentukanlah rumus umum suku ke - n, rumus jumlah n suku pertamanya, dan juga hitunglah jumlah 60 suku pertamanya.

Penyelesaian :

a. Untuk mengetahui 60 suku pertama kita bisa menggunakan hubungan :

Sehingga,

         

Dari deret aritmetika 2 + 4 + 6 + 8… dapat diperoleh a = 2 dan b = 2
U60 = a + 58b = 2 + 58(2) = 118
S40  = 30 (a + U40) = 30 (2 + 118) = 3600.
Jadi, jumlah 40 suku pertama deret aritmetika tersebut adalah  S40 = 3600.

b. Untuk menyelesaikan jumlah deret aritmetika dari 3 + 6 + 9…+ 90
Kita bisa menggunakan hubungan Un = a + (n – 1) b
3 + 6 + 9 + …+ 90
a = 3, b = 3, dan un = 90
90 = 3 + (n – 1) 3 ↔ 90 = 3n ↔ n = 30

         = 15 (3 + 90) = 1395

Jadi, jumlah deretnya adalah S30 = 1395.

c. Baris arimetika dari deret adalah 2, 6, 10, 14… yang suku pertamanya a = 2 dan b = 4
Yang pertama kita harus mencari rumus umum suku ke - n.
Dengan rumus umum suku ke - n : Un = a + (n – 1) b
Un = 2 + (n – 1) 4
Un = 4n – 1
Jadi , rumus umumnya adalah Un = 4n – 1.
Untuk mencari jumlah n suku pertama kita gunakan rumus :

Jadi rumus umumnya adalah : 

Setelah itu barulah kita mencari 60 suku pertama :

Itulah penjelasan mengenai  Barisan Atau Deret Aritmetika Dilengkapi Pembahasan Contoh Soal yang bisa kita gunakan untuk menjumlahkan dan menentukan rumus dari baris dan deret aritmetika itu sendiri semoga bermanfaat.

baca juga :

• Rumus dan Pola Barisan Aritmatika
• Barisan dan Deret Aritmatika Matematika SMP Kelas 9 
• Materi Matematika Perbandingan Bertingkat

Rangkuman Materi Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar Dilengkapi Pembahasan Contoh Soal Lengkap

Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar - Operasi aljabar pada bentuk akar merupakan operasi dalam bentuk penjumlahan, pengurangan ,perkalian maupun pembagian dalam bentuk akar yang digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar.

Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Sifat - sifat dari penjumlahan dan pengurangan bentuk akar yang biasa di gunakan secara umum bisa digambarkan berikut ini :

                                            a√b  + c√b  = (a + c) √b

                                            a√b  - c√b  = (a - c) √b

                                            dengan a, b, c, ∈R dan b ≥ 0

Dari gambar sifat-sifat perhitungan dari bentuk akar diatas kita bisa dengan mudah dalam menyelesaikan operasi hitungan aljabar bentuk akar tersebut dengan menggunakan rumus-rumus diatas.
Berikut contoh soal penjelasan dari konsep di atas :

Hitunglah operasi bentuk akar di bawah ini :
1. 4√2 + 7√2 + 2√2
2. 7√5 - 9√5 - 3√5
3. 6√3 + 9√3 - 2√3

Penyelesaian:
1. 4√2 + 7√2 + 2√2  = (4 + 7 +2)√2
                                  = 13√2
Jadi, penjumlahan dari 4√2 + 7√2 + 2√2  adalah 13√2

2. 7√5 - 9√5 - 3√5  = (7 – 9 – 3)√5
                                = -5√5
Jadi penjumlahan dari 7√5 - 9√5 - 3√5   adalah -5√5

3. 6√3+ 9√3- 2√3 = (6 + 9 -2) √3  = 13√3
Jadi hasil dari penjumlahannya adalah 133

Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

Sifat - sifat dari perkalian dan pembagian dalam bentuk akar bisa dijabarkan seperti berikut :

                                            a√b  x c√d  = ac √bd

                                            dengan a, b, c, d ∈R dan b ≥ 0, d ≥ 0

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut :

a. √5 x √4

b. 7√5 x 9√3

Penyelesaian :

a. √5 x √4 = √(5 x 4) = √20

b. 7√5 x 9√3  = (7x9) x √5 x √3

                       = (7 x 9) x √(5 x 3)
                       = 63 x √15
                       = 63√15
Jadi hasil perkalian bentuk akar dari 7√5 x 9√3 adalah : 63√15.

Sifat pembagian bentuk akar diuraikan sebagai berikut :
                                                                                                a/√b  = √a/b
                                                                                                dengan a, b ∈R dan a ≥ 0, b ≥ 0
Contoh :
1. 8√10
     4√5
2. 2√4
    6√8

Penyelesaian :
Dalam penyelesaian operasi akar perkalian dan pembagian tidak jauh berbeda dengan mengoperasikan bentuk akar dengan penjumlahan dan juga pengurangan, sehingga :

Jadi hasil pembagian dari 8√10
                                             4√5  adalah : 2√2

Jadi hasil pembagian dari 2√4
                                            6√8 adalah : 0,3√0,5

Operasi Campuran Bentuk Akar

Prioritas yang paling utama dalam menyelesaikan soal - soal berbentuk bilangan campuran yaitu bilangan yang ada di dalam tanda kurung. Jika tidak ada tanda kurung maka :
1. Pangkat dan akar sama kuat
2. Perkalian dan pembagian sama kuat
3. Penjumlahan dan pengurangan sama kuat
4. Perkalian dan pembagian lebih kuat dari penjumlahan dan pengurangan

Contoh :
Selesaikanlah pecahan bentuk akar dibawah ini :
a. 2 / (√5 - √3)
b. 6 / (4√4 + √3)

Penyelesaian :
a. Untuk penyelesaian pecahan tersebut kita bisa menggunakan rumus a/(√a + √b), sehingga :
    2 / (√5 - √3) = 2 / (√5 - √3) x 2 / (√5 + √3) / √5 + √3)
                         = (2√5 + 2√3) / (5 - 3)
                         = (2√5 + 2√3) / 2
                         = √5 + √3
Jadi bisa diketahui bahwa hasil pecahan dari 2/(√5 - √3) adalah √5 + √3

b. 6 / (4√4 + √3) = 6 / (4√4 + √3 x 6 (4√4 - √3 / 6 (4√4 - √3
                            = (24√4 - 4√3) / (4-3)
                            = (24√4 - 4√3) /1

Itulah penjelasan dan contoh soal beserta pembahasan tentang Pengoperasian Aljabar Bentuk Akar, yang dijelaskan secara detail, sehingga bisa membantu dalam mengerjakan soal-soal matematika yang biasa kita temukan dalam pelajaran matematika. Semoga apa yang telah saya jelaskan di atas bisa membantu dalam penyelesaian soal-soal aljabar bentuk akar yang lainnya.

Baca Juga:

• Materi Matematika SD Kelas 4 Sifat - Sifat Operasi Hitung 
• Materi Matematika SMP Kelas 8 Bangun Ruang Sisi Lengkung 
• Rangkuman Materi Bangun Ruang Matematika SMP Kelas 8

Rangkuman Materi Urutan Pemusatan Data Mean, Median, Dan Modus Dilengkapi Pembahasan Contoh Soal Lengkap

Urutan Pemusatan Data Mean, Median, Dan Modus - Sebelum mempelajari contoh soal dan pembahasannya terlebih dahulu kita memahami arti dari Urutan pemusatan data, mean, median, dan modus. Berikut uraian penjelasannya.

Urutan Pemusatan Data

Urutan pemusatan data merupakan nilai maupun data yang mewakili dari sekelompok data yang biasa disebut dengan rata-rata. Nilai suatu rata-rata biasanya cenderung terletak di tengah-tengah suatu kelompok data yang di susun secara beruntun.

Mean

Mean atau rataan hitung merupakan jumlah keseluruhan data dari sekumpulan data yang ada  yang kemudian dibagi dengan banyaknya data yang ada. Mean dirumuskan seperti berikut :

Keterangan :

                     x = Jumlah data

                     n = Jumlah dari banyaknya data yang ada

Contoh soal 1 :
Diketahui 30 mahasiswa yang mengikuti ujian akhir semester dalam pelajaran matematika, memperoleh nilai masing-masing, Erik mendapat nilai 70, Sasa mendapat nilai 80, bagus mendapat nilai 75, Anindita mendapat nilai 70, Ilyas mendapat nilai 80, Tia mendapat nilai 70, Heru mendapat nilai 70, dan Diana mendapatkan nilai terendah yaitu 60.
Carilah nilai mean, dari sekumpulan data tersebut.

Pnyelesaian:

Nilai Mean : 

Kita gunakan rumus :

 

Dengan x merupakan jumlah data, dan n merupakan jumlah dari banyaknya data yang ada, sehingga :

Mean = 16,5 

Jadi mean dari data tersebut adalah 16,5

Median

Median merupakan nilai tengah dari sekumpulan data yang bisa diketahui dengan mengurutkan nilai -nilai terkecil hingga yang paling besar dari sekumpulan data tersebut. 

Contoh soal untuk mencari median, kita ambil sampel dari data di atas (contoh soal 1):

Dalam mencari median atau nilai tengah kita bisa memulainya dengan mengurutkan data dari yang terkecil hingga yang terbesar.
70, 75, 70, 80, 70, 70, 60 diurutkan menjadi 60 70, 70, 70, 70, 75, dan 80.
Setelah diurutkan maka ambillah nilai yang berada di tengah-tengah sekumpulan dari data tersebut.
Median = 70.

Jadi, median dari data di atas adalah 70.
Namun jika data yang ada berjumlah genap kita perlu mengambil dua nila yang di tengah yang kemudian dibagi 2. 

Misalkan menentukan median dari data : 60, 60 70, 70, 70, 75, 80, 80, 85

Maka mediannya adalah = 70 + 75 : 2 = 72,5

Modus

Modus merupakan nilai yang paling sering muncul pada sekumpulan data. 

Misalkan :

Diketahui data ulangan matematika kelas VIIIA adalah : 70, 70, 80, 75, 80, 75, 85, 85, 80

Penyelesaian :

Angka atau nilai 80 dari data tersebut muncul tiga (3) kali, maka modusnya adalah 80.

Apabila angka / nilai dari suatu data memiliki 2 modus (dua angka yang memiliki frekuensi yang sama), maka data tersebut disebut sebagai bimodus.

Contoh soal 2 :
Diketahui data ulangan dari sekolah dasar mekar sari, yang diikuti oleh 40 orang anak  yang  mendapatkan nilai ulangan masing-masing 60, 65, 60, 70, 75, 75, 80, 75, 80, 70.
Jadi hitunglah nilai dari mean, median, dan juga modus dari data tersebut !

Penyelesaian:
Mean :

Seperti halnya dengan soal yang pertama, soal yang ke dua ini kita juga bisa menggunakan rumus :

Mean = 17,75 

Setelah itu mencari median.pertama kita harus mengurutkan datanya terlebih dahulu
60, 65, 60, 70, 75, 75, 80, 75, 80, 70 menjadi: 60, 60, 65, 70, 70, 75, 75, 75, 80, 80.
Kemudian kita ambil data yang posisinya di tengah-tengah, karena data yang ada berjumlah genap, maka yang kita ambil adalah dua data yang paling tengah yaitu {70 dan 75} kemudian di bagi dua, sehingga : 

Median: 72,5 

Setelah selesai mencari median dan mean selanjutnya kita mencari modus, modus adalah nilai yang paling sering muncul dalam sekumpulan data, jadi bisa dengan mudah di tentukan nilai modus dari data diatas adalah 75. Karena 75 merupakan nilai yang paling sering muncul dari data tersebut.
Jadi bisa disimpulkan nilai mean adalah 17,75. Median 72.5 dan juga modusnya 75. Dari sekumpulan data : 60, 65, 60, 70, 75, 75, 80, 75, 80, 70. 

Sampai disini dulu penjelasan materi mengenai Urutan Pemusatan Data Mean, Median, Dan Modus Dilengkapi Pembahasan Contoh Soal. Semoga dari penjelasan dan contoh soal serta penyelesaian tentang pengurutan dari sekumpulan data diatas kalian bisa dengan mudah memahami, dan bisa membantu dalam menyelesaikan soal-soal matematika yang lainnya, semoga ini bisa memberikan manfaat untuk kita semua. Selamat Belajar.

Baca Juga :

Rangkuman Rumus Pada Integral Tigonometri
Materi Matematika Cara Mencari Simetri Putar Bangun Datar
Modus Ponens dan Tollens Logika Matematika

Rangkuman Materi Pengertian dan Jenis - Jenis Pola Bilangan Matematika Lengkap

Pengertian Pola Bilangan Matematika -  Pola bilangan merupakan suatu susunan dari beberapa angka yang memiliki bentuk teratur atau bisa membentuk suatu pola. Sebagai contoh, perhatikan sebuah dadu yang setiap sisinya memiliki bilangan - bilangan yang digambarkan dalam bentuk bulatan kecil yang menyatakan jumlah masing - masing bilangan di sisi dadu tersebut. Satu bulatan mewakili bilangan 1, dua bulatan mewakili bilangan 2, dan begitu seterusnya hingga bulatan keenam mewakili bilangan 6. Jika diamati, dadu tersebut diurutkan dengan aturan tertentu sehingga bilangan - bilangan yang dinyatakan dengan bentuk bulatan kecil pada sisi dadu tersebut membentuk suatu barisan atau pola. Pola bilangan dalam matematika bermacam - macam jenisnya, untuk mempelajari lebih lanjut tentang pola bilangan perhatikan penjelasan di bawah ini.

Jenis - Jenis Pola Bilangan

1. Pola Bilangan Ganjil
Pola bilangan ganjil merupakan susunan bilangan yang terbentuk dari bilangan - bilangan ganjil.
Bilangan ganjil itu sendiri yaitu bilangan asli yang tidak akan habis dibagi dua atau kelipatan dari 2.
- Yang termasuk bilangan ganjil adalah : 1, 3, 5, 7, 9, ....
- Gambar untuk pola bilangan ganjil :

       

- Rumus pola bilangan ganjil :

1, 3, 5, 7, 9, ..., n, maka rumus pola bilangan ganjil ke n : Un = 2n - 1

Contoh :

1, 3, 5, 7, 9, ..., ke 15

Tentukan pola bilangan ganjil ke 15 !

Jawab :

Un = 2n - 1

U15 = 2.15 - 1

        = 30 - 1

        = 29

2. Pola Bilangan Genap

Pola Bilangan Genap merupakan susunan yang terbentuk dari bilangan - bilangan genap (bilangan asli yang habis dibagi dua atau kelipatannya).

- Yang merupakan bilangan genap : 2, 4, 6, 8, 10, ....

- Gambar pola bilangan genap :

       

- Rumus pola bilangan genap :Un = 2n

Contoh :

2, 4, 6, 8, 10, ..., ke 15

entukan bilangan genap ke 20 !

Jawab :

Un = 2n

U15 = 2 x 15

        = 30

3. Pola Bilangan Segitiga

Pola bilangan segitiga merupakan suatu barisan dari bilangan - bilangan yang membentuk sebuah pola segitiga.

- Pola bilangan segitiga : 1, 3, 6, 10, ....

Bilangan - bilangan itu merupakan hasil dari penjumlahan bilangan cacah berurutan yang dimulai dari 0 :

0 + 1 = 1

0 + 1 + 2 = 3

0 + 1 + 2 + 3 = 6

0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10, dan seterusnya.

- Gambar pola bilangan segitiga :

- Rumus pola bilangan segitiga : Un = 1/2 n (n + 1)

Contoh :

Tentukan pola bilangan ke 18 dari barisan bilangan - bilangan 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, ..., ke 18?

Jawab :

Un = 1/2 n (n + 1)

U 18 = 1/2 . 18 (18 + 1)

         = 9 (19)

         = 171

4. Pola Bilangan Persegi

Pola bilangan persegi merupakan suatu barisan bilangan yang membentuk pola persegi.

- Pola bilangan persegi : 1, 4, 9, 16, ....

Bilangan - bilangan tersebut diperoleh dari kuadrat bilangan asli, dimulai dari 1 :

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16, dan seterusnya.

- Gambar pola bilangan persegi :

- Rumus pola bilangan persegi : Un = n2

Contoh :

Tentukan pola bilangan persegi ke 12 dari bilangan - bilangan 1, 4, 5, 16, ..., ke 12?

Jawab :

Un = n²

U12 = 12² = 144

5. Pola Bilangan Persegi Panjang

Pola bilangan persegi panjang merupakan suatu barisan bilangan - bilangan yang membentuk pola persegi panjang.

- Pola bilangan persegi panjang : 2, 6, 12, 20, ....

Bilangan - bilangan tersebut dihasilkan dari cara berikut :

1 x 2 = 2

2 x 3 = 6

3 x 4 = 12

4 x 5 = 20, dan seterusnya.

- Gambar pola bilangan persegi panjang :

                    

- Rumus pola bilangan persegi : Un = n . n + 1

Contoh :

dari suatu barisan bilangan 2, 6, 12, 20, 30, ..., ke 17?

Tentukan pola bilangan persegi panjang ke 17 !

Jawab :

Un = n . n + 1

U17 = 17 . 17 + 1

        = 17 . 18

        = 306

6. Pola Bilangan Fibonacci

Pola bilangan Fibonacci merupakan suatu bilangan yang setiap sukunya merupakan jumlah dari dua suku di depannya.

- Pola bilangan fibonacci :

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 56, ....

2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, ....

Demikianlah pembahasan materi mengenai Pengertian dan Jenis - Jenis Pola Bilangan Matematika. Semoga kalian bisa memahami dan mempelajari penjelasan dan contoh soal dengan baik.

Baca Juga :

Rangkuman Dan Contoh Soal Matematika SBMPTN
Contoh Soal Dan Pembahasan Operasi Hitung Bentuk Aljabar

Rangkuman Materi Frekuensi Harapan dan Peluang Komplemen Suatu Kejadian Dilengkapi Pembahasan Contoh Soal Lengkap

Frekuensi Harapan Suatu Kejadian - Pada artikel sebelumnya admin telah membahas materi mengenai Kisaran Nilai Peluang. Untuk materi kali ini masih seputar peluang yaitu Frekuensi Harapan Suatu Kejadian. Untuk memahami materi ini silahkan pelajari pembahasan dan penjelasan contoh soal di bawah ini.

Pengertian dan Rumus Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan merupakan hasil perkalian antara peluang yang muncul dari suatu kejadian dikalikan dengan banyaknya percobaan yang dilakukan. Sebagai contoh, dalam mengharapkan sebuah hadiah, kita pasti mengharapkan untuk mendapatkan hadiah yang terbanyak. Kata "terbanyak" ini kita pakai untuk menjelaskan atau mengungkapkan "harapan" (frekuensi harapan).

Rumus Frekuensi Harapan

Keterangan : F_h = Frekuensi harapan

                     P(K) = Peluang kejadian K

                     n = Banyaknya percobaan

Perhatikan contoh soal di bawah ini :

Sebuah koin dilemparkan sebanyak 10 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya sisi gambar !

Penyelesaian :

Misalkan K merupakan himpunan kejadian munculnya sisi gambar, sehingga

P(K) = 1/2 (angka 2 didapat dari sisi angka dan sisi gambar / dua sisi)

Banyaknya lemparan (n) = 10

       = 1/2 x 10

       = 5

Jadi, frekuensi harapan munculnya sisi gambar adalah 5 kali.

Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Peluang komplemen suatu kejadian merupakan peluang suatu kejadian yang berlawanan dengan suatu kejadian yang ada. Misalkan, suatu kejadian A merupakan himpunan dari semua kejadian yang bukan A. Komplemen dari kejadian A ditulis dengan A^c.

Suatu kejadian dan komplemennya selalu berjumlah 1 artinya, suatu kejadian bisa saja terjadi atau tidak akan terjadi, sehingga dapat dirumuskan :

P(A) + P(A^c) = 1

P(A^c) = 1 - P(A)

Ket : P(A) = Peluang kejadian A

         P (A^c) = Komplemen kejadian A

Contoh soal :

1. Andi melemparkan sebuah dadu bermata 6. Hitunglah peluang Andi untuk tidak mendapatkan sisi dadu 3!

Penyelesaian :

P(A^c) = 1 - P(A)

P(3^c) = 1 - P(3)

P(3^c) = 1 - 3/6

         = 6/6 - 3/6

         = 3/6

2. Dalam pelemparan 3 uang logam sekaligus. Jika sisi uang logam tersebut terdiri dari dua sisi yaitu sisi gambar dan sisi angka, maka paling sedikit peluang munculnya satu sisi gambar adalah ?

Penyelesaian :

Sisi gambar (G), sisi angka (A)

Diketahui banyaknya sisi gambar dan sisi angka yang akan muncul :

{AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}, sehingga n(S) = 8

Peluang sisi yang muncul tanpa gambar yaitu : {AAA} = 3

Peluang satu sisi gambar yang muncul paling sedikit = 1 - 3/8 = 8/8 - 3/8 = 5/8

Jadi, paling sedikit peluang munculnya satu sisi gambar yaitu 5/8

Kumpulan Materi Matematika SMP Kelas 9

Rangkuman Materi Pengertian Kisaran Nilai Peluang Dilengkapi Pembahasan Contoh Soal Lengkap

Pengertian Kisaran Nilai Peluang - Peluang merupakan suatu kejadian yang kemungkinan akan muncul di dalam sebuah ruang sampel. Misalkan dalam sebuah pertandingan sepak bola, sebelum memulai pertandingan wasit akan melemparkan uang logam atau koin untuk menentukan kesebelasan yang akan memperoleh bola pertama. Dari pelemparan koin tersebut, manakah yang memiliki peluang lebih besar untuk muncul, gambar atau angka ? karena koin tersebut hanya memiliki dua sisi, maka peluang yang akan muncul adalah sama antara gambar atau angka.

Peluang sering disebut juga dengan nilai kemungkinan. Suatu peluang dapat dinyatakan dengan :
Misalkan A merupakan suatu kejadian yang diinginkan, maka nilai peluang kejadian A tersebut ialah :

Ket : n (A) = banyaknya anggota atau titik sampel kejadian A

         n (S) = banyaknya anggota atau titik sampel pada ruang sampel S

Pengertian Ruang Sampel

Ruang sampel merupakan himpunan dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin muncul dari suatu percobaan. Ruang sampel sering juga disebut dengan ruang contoh.

Contoh soal :
1. Hitunglah peluang munculnya mata dadu dari sebuah dadu bermata 6 yang dilemparkan :
a. Munculnya mata dadu ganjil
b. Munculnya mata dadu genap
c. Munculnya mata dadu lebih dari 2

Penyelesaian :
Diketahui :
Ruang sampel dadu terdapat 6 titik sampel, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 sehingga n (S) = 6
a. Misalkan A merupakan kejadian munculnya mata dadu ganjil, maka A = {1, 3, 5} => n (A) = 3

b. Misalkan B merupakan kejadian munculnya mata dadu genap, maka B = {2, 4, 6} => n (A) = 3

c. Misalkan C merupakan kejadian munculnya mata dadu lebih dari 2, maka C = {3, 4, 5, 6} => n (A) = 4

2. Sebuah botol minuman berisi 15 gulungan kertas kecil. Dari 15 gulungan kertas tersebut 6 gulungan kertas merupakan bilangan ganjil, 7 gulungan kertas merupakan bilangan genap, dan 2 gulungan kertas merupakan bilangan prima. Jika satu gulungan kertas tersebut diambil secara acak dengan pengembalian, tentukan peluang terambilnya gulungan kertas yang berisi :

a. Bilangan ganjil

b. Bilangan genap

c. Bilangan prima

Penyelesaian :

Diketahui :

Ruang sampel terdapat 15 gulungan kertas, sehingga n (S) = 15

a. Bilangan ganjil = 6, sehingga n (A) = 6

b. Bilangan genap = 7, sehingga n (A) = 7

c. Bilangan prima = 2, sehingga n (A) = 2

Baca Juga : Materi Matematika SMP Kelas 8

Rangkuman Materi Materi Matematika Kelas 4 Pembulatan dan Penaksiran Lengkap Dengan Pembahasan Contoh Soal Lengkap

Pembulatan dan Penaksiran - Materi matematika kelas 4 salah satu yang diajarkan yaitu tenang pembulatan dan penaksiran. Pembulatan dan penaksiran merupakan suatu pemikiran yang menghasilkan prakiraan (kira-kira) sehingga, dari hasil prakiraan tersebut sering dilakukan pembulatan. Di bawah ini merupakan penjelasan mengenai pembulatan dan penaksiran.

1. Pembulatan

Dalam pembulatan sebuah bilangan terdapat aturan atau ketentuan. Aturannya adalah sebagai berikut :
Pembulatan Menuju Puluhan Terdekat
- Angka satuan yang kurang dari 5 maka pembulatannya ke bawah
- Angka satuan yang lebih dari atau sama dengan 5 maka pembulatannya ke atas

Contoh :
Angka 34 dibulatkan menjadi 30 (karena posisi satuan 4 nilainya kurang dari 5, maka dari itu dibulatkan ke bawah)
Angka 57 dibulatkan menjadi 60 (karena posisi satuan 7 nilainya lebih dari 5, maka dari itu dibulatkan ke atas)

Pembulaan Menuju Ratusan Terdekat
- Angka puluhan yang kurang dari 50 maka pembulatannya ke bawah
- Angka puluhan yang lebih dari atau sama dengan 50 maka pembulatannya ke atas
Contoh :
Angka 136 dibulatkan menjadi 100 (karena nilai 36 kurang dari 50)
Angka 179 dibulatkan menjadi 200 (karena nilai 79 lebih dari 50)

Pembulatan Menuju Ribuan Terdekat
- Angka ratusan yang nilainya kurang dari 500 maka pembulatannya ke bawah
- Angka ratusan yang nilainya lebih dari atau sama dengan 500 maka pembulaannya ke atas
Contoh :
2480 dibulatkan menjadi 2000 (karena 480 kurang dari 500)
2560 dibulatkan menjadi 3000 (karena 560 lebih dari 500)

2. Penaksiran

Penaksiran merupakan perkiraan yang dilakukan untuk hasil sebuah hitungan. Dalam melakukan penaksiran terdapat aturan - aturan pembulatan agar hasil yang diperoleh bisa mendekati hasil operasi hitung yang sebenarnya.

A. Penaksiran Penjumlahan dan Pengurangan
Contoh :
1. Cobalah untuk menaksir penjumlahan dan pengurangan dari bilangan - bilangan tersebut !
a. 7.253 + 2.567 = ...
b. 2.754 - 1.523 = ...

Penyelesaian :
Terlebih dahulu kita bulatkan angka - angka tersebut menuju ribuan terdekat.
a. 7.253 dibulatkan menjadi 7.000
    2.567 dibulatkan menjadi 3.000
Kemudian baru dilakukan penaksiran, sehingga : 7.000 + 3.000 = 10.000
Kita bisa membandingkan dengan hasil yang sebenarnya : 7.253 + 2.567 = 9.820 (mendekati 10.000)

b. 2.754 dibulatkan menjadi 3.000
    1.523 dibulatkan menjadi 2.000
Sehingga hasil penaksirannya adalah : 3.000 - 2.000 = 1.000
Bandingkan dengan hasil yang sebenarnya : 2.754 - 1.523 = 1.231 (mendekati 1.000)

B. Penaksiran Perkalian dan Pembagian
Penaksiran perkalian dan pembagian caranya sama dengan langkah penaksiran penjumlahan dan pengurangan hanya yang membedakan adalah bentuk dari operasi hitungnya yaitu perkalian dan pembagian.

Perhatikan contoh soal berikut :
a. 256 x 312 = ...
b. 1290 : 714 = ...

Penyelesaian :
a. 268 x 342 = 300 x 300
                      = 90.000
Hasil yang sebenarnya adalah : 268 x 342 = 91.656 (mendekati 90.000)

b. 1290 : 514 = 1.000 : 500
                       = 2
Hasil yang sebenarnya adalah : 1290 : 514 = 2,50972 (mendekati dengan 2)

Kumpulan MAteri Matematika SD Kelas 4

Rangkuman Materi Permainan Matematika Sederhana Untuk Anak dan Keluarga Lengkap

Permainan Matematika Sederhana - Matematika buat sebagian orang merupakan pelajaran yang lumayan sulit untuk di pahami. Biasanya anak-anak sekolah sangat kesulitan dalam pelajaran matematika seperti penambahan, pengurangan, perkalian, atau pun pembagian. Pada usia prasekolah disitu merupakan awal waktu dimana kemampuan matematika anak akan terbentuk. Menurut Douglas Clements matematika itu lebih dari sekedar angka, tetapi juga menyangkut ruang, perhitungan, struktur, serta geometri ruang. Dengan tuntutan pelajaran mau tidak mau, anak-anak harus paham akan pelajaran matematika. Hal yang membuat sebagian orang tidak suka dengan pelajaran matematika itu karena, matematika itu sendiri banyak di dominasi terhadap konsep dan rumus matematika. Lantas, bagaimana cara menyikapi orang yang tidak menyukai matematika.

Kali ini admin akan memperkenalkan kepada kalian mengenai permainan matematika yang sederhana dan mudah untuk dipahami. Dalam sebuah keluarga terutama orang tua baik ayah dan ibu dapat memperkenalkan permainan matematika dengan menggunakan peralatan makan atau benda - benda lain yang ada di sekeliling guna membantu anak - anak dalam mengenal matematika dengan bermain. Dengan melalui permainan bisa mengenalkan bahwa memahami matematika itu tidak sesulit yang ada di dalam pikiran kita.

Pada umumnya permainan matematika itu sama saja dengan permainan-permainan lainnya yang mengasyikkan yang dikemas sedemikian rupa, dengan bahasa yang sederhana dan mudah dipahami. Permainan matematika juga bisa menggunakan cara manual yang berhubungan dengan kehidupan dan lingkungan sekitar, seperti menggunakan organ tubuh, alat - alat atau benda - benda mati, menggunakan hewan, dan lain sebagainya. Permainan matematika yang akan di berikan harus sesuai dengan umur anak, karena umur berpengaruh pada tingkat pemahaman anak.

Anak pada usia 2-3 tahun

Di usia ini anak-anak baru belajar mengenali pola dengan menggunakan pemahaman logika dalam permainan dan aktivitas sehari-hari. Di usia ini anak sudah dapat mencocokkan beragam bentuk, mengurutkan bentuk serta ukuran dan berhitung sesuai dengan urutan hingga hitungan ke lima, bisa juga dengan mengajak anak bermain tepuk tangan, menghitung mobil yang berjalan dan masih banyak lainnya.

Anak pada usia 3-4  tahun

Pada usia ini anak sudah dapat mengenali puzzle sederhana, berhitung sampai 10, serta menyusun barang - barang tiga dimensi dengan menggunakan balok. Di usia ini juga anak sudah dapat membedakan besar, kecil, panjang, pendek, cepat, lambat, berat, dan lain sebagainya.

Anak pada usia 4-5 tahun

Menginjak pada usia ini anak sudah mulai bertambah kemampuannya dalam menghitung, anak usia ini bisa menghitung hingga 50, sudah dapat belajar menambahkan dan mengurangi dengan menggunakan benda.

Dalam kegiatan sehari-hari usahakan untuk mengajak serta melibatkan anak-anak, misalkan meminta bantuannya untuk menyortir cucian, alat makan, mainan dan yang lainnya. Dengan ini, anda sudah membantu menumbuhkan kemampuan mengenal dan memahami akan benda-benda di sekelilingnya.

Ada beberapa metode belajar matematika dengan permainan  di usia 5 tahun keatas, yang bisa memudahkan anda untuk memahami matematika yang dapat anda terapkan di rumah.

Berikut penjelasannya :

Konsep membedakan besar dan kecil

    Pada saat membereskan mainan anak yang berantakan di kamar, anda bisa mengambil kotak atau keranjang besar dan kecil untuk menaruh mainan ke dalamnya. Kemudian anda bisa meminta anak anda untuk membantu anda membereskan mainan dengan meminta anak tersebut untuk memasukkan mainan ke dalam kotak sesuai dengan ukuran mainan. Mainan yang ukurannya besar masukan kedalam kotak besar dan mainan yang ukurannya kecil masukan ke dalam kotak yang kecil, lalu hitunglah jumlah mainan yang sudah dimasukkan ke dalam kotak.

 Mencari Pasangan

Dalam permainan matematika untuk dapat mencari pasangan dengan mencocokkan pasangan. Pada saat makan anda bisa meminta anak anda untuk mencari dan mencocokkan sepasang sendok makan seperti sendok teh dengan sendok garpu, lalu bisa juga dengan mencocokkan kaos kaki dengan memasangkannya ke kaki sesuai dengan bagiannya yang kanan dan kiri.

Mengenal bentuk - bentuk gambar

Permainan matematika dalam mengenal bentuk - bentuk gambar, anda dapat menggunakan angka dengan mengenalkan bentuk benda dan lainnya. Misalnya angka 2 mirip dengan bentuk ayam dan bebek, angka 4 bentuknya seperti kursi terbalik, angka 1 bentuknya seperti tongkat kayu serta masih banyak lagi bentuk-bentuk lainnya.

Permainan menghitung jumlah dan tebak-tebakan dalam permainan matematika

Permainan matematika yang satu ini, digunakan untuk orang dewasa salah satunya yaitu permainan seperti tebak tanggal lahir. Tebak jumlah makanan dan lainnya.

Contohnya, tebak umur seseorang, Rudi lahir pada tahun 1995, jika dihitung dari tahun 1995 sampai tahun 2016 berapa umur Rudi saat ini?

Diketahui Tahun lahir Rudi = 1995

Ditanya berapa umur Rudi di tahun 2016 ?

Penyelesaian:

2016 – 1995 = 21

Jadi, umur Rudi di tahun 2016 yaitu 21 tahun.

Baca Juga : Rangkuman Materi Bangun Ruang Matematika SMP