Rangkuman Materi Penjelasan Perbedaan Permutasi dan Kombinasi Matematika, Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap Lengkap

Permutasi dan Kombinasi Matematika - Materi permutasi dan kombinasi matematika berkaitan dengan materi peluang yang bisa kalian akses pada artikel yang membahas tentang Pengertian dan Rumus Peluang Matematika.

Pengertian Permutasi dan Kombinasi Matematika

Permutasi

Dalam ilmu matematika permutasi diartikan sebagai sebuah konsep penyusunan sekumpulan objek/angka menjadi beberapa urutan berbeda tanpa mengalami pengulangan.

Di dalam permutasi, urutan sangat diperhatikan. Setiap objek yang dihasilkan harus berbeda antara satu dengan yang lain. Sebagai contoh, urutan huruf {ABC} berbeda dengan {CAB} begitu juga dengan {BAC} dan {ACB}.
Rumus untuk mencari banyaknya permutasi n unsur jika disusun pada unsur k dimana k n adalah :

Rumus Permutasi

P(n,k) =  n!  
            (n-k)!

Untuk memahami rumus tersebut, perhatikan pembahasan soal berikut ini :

Contoh Soal 1 :
Disebuah kelas terdapat 4 orang siswa yang dicalonkan untuk mengisi posisi bendahara dan sekretaris. Tentukan banyaknya cara yang bisa digunakan untuk mengisi posisi tersebut!

Penyelesaian :
Soal di atas bisa dituliskan sebagai permutasi P(4,2), n(banyaknya guru) = 4 k (jumlah posisi) = 2
Kita masukkan ke dalam rumus :

P(4,2) =   4!     = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 = 12
             (4-2)!          2 x 1            2



Contoh Soal 2 :
Berapakah banyaknya bilangan yang dibentuk dari 2 angka berbeda yang bisa kita susun dari urutan angka 4, 8, 2, 3, dan 5?

Penyelesaian :
Pertanyaan di atas bisa disimpulkan sebagai permutasi yang terdiri dari 2 unsur yang dipilih dari 5 unsur, maka bisa dituliskan sebagai P(5,2). Lalu, kita masukkan ke dalam rumus :

P(5,2) =   5!    = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 = 20
             (5-2)!           3 x 2 x 1             6

Maka ada 20 cara yang bisa dilakukan untuk menyusun bilangan tersebut menjadi 2 angka yang berbeda - beda (48, 42, 43, 45, 84, 82, 83, 85, 24, 28, 23, 25, 34, 38, 32, 35, 54, 53, 52).

Kombinasi

Kombinasi merupakan sebuah kumpulan dari sebagian atau seluruh objek dengan tidak memperhatikan urutannya. Di dalam kombinasi {AB} dianggap sama dengan {BA} sehingga sebuah kombinasi dari dua objek yang sama tidak dapat terulang.

Rumus kombinasi dari suatu himpunan yang mempunyai n elemen bisa dituliskan sebagai berikut :

Rumus Kombinasi

C(n,r) = nCr = ⁿCr =     n!    
                                   r!(n-r)!

Perhatikan baik - baik penggunaan rumus tersebut untuk menyelesaikan soal - soal di bawah ini :

Contoh Soal :
Manuel Pelegrini membawa 16 pemain saat Manchester City melawan Liverpool di Etihad Stadium. 11 orang diantaranya akan dipilih untuk bermain pada babak pertama. Jika kita tidak memperhatikan posisi pemain, berapakah banyaknya cara yang bisa diambil oleh pelatih untuk memilih pemain?

Penyelesaian :
Karena tidak mementingkan posisi pemain, maka kita gunakan rumus kombinasi :

¹⁶C11 =      16         = 16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11!
            11!(16-11)!                   11!5!

     =       524160        = 524160 = 4368
        5 x 4 x 3 x 2 x 1       120


Contoh Soal :
Sebuah ember berisi 1 buah alpukat, 1 buah pir, 1 buah jeruk dan 1 buah salak. Berapakah banyaknya kombinasi yang tersusun dari 3 macam buah?

Penyelesaian :
Diketahui n = 4 dan r = 3, maka :

⁴C3 =    4!      = 4 x 3 x 2 x 1 =      24    = 24 = 4
         3!(4-3)!           3!1!           3 x 2 x 1    6


Demikianlah pembahasan materi mengenai Penjelasan Perbedaan Permutasi dan Kombinasi Matematika, Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap. Semoga kalian bisa memahami penjelasan dan contoh - contoh soal yang diberikan dengan mudah sehingga kalian tidak akan mengalami kesulitan dalam mengerjakan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Selamat belajar!

Rangkuman Materi Materi Pengertian dan Rumus Peluang Matematika SMP Terlengkap Lengkap

Pengertian dan Rumus Peluang Matematika - Jika kalian pernah bermain ular tangga tentu kalian akan menggunakan dadu untuk menentukan jumlah langkah yang harus kalian ambil. Pada proses pelemparan dadu, hasil atau angka yang mungkin muncul adalah 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Nah, kemungkinan munculnya angka pada saat melempar dadu adalah salah satu contoh Peluang Matematika.

Contoh lain dari peluang matematika adalah pelemparan koin. Pada saat melempar koin ada dua buah kemungkinan sisi yang muncul. Sisi yang pertama adalah angka (A) dan sisi yang kedua adalah gambar (A). Materi kali ini akan membahas mengenai pengertian dan rumus peluang dalam matematika. Perhatikan baik - baik pembahasan berikut ini:

Memahami Definisi dan Rumus Peluang dalam Matematika

Definisi Peluang
Peluang didefinisikan sebagai sebuah cara yang dilakukan untuk mengetahui kemungkinan terjadinya sebuah peristiwa.

Di dalam materi mengenai peluang, dikenal beberapa istilah yang sering digunakan, seperti ;

Ruang Sampel
Merupakan himpunan dari semua hasil percobaan yang mungkin terjadi.

Titik Sampel
Merupakan anggota yang ada di dalam ruang sampel.

Kejadian :
Merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.

RUMUS PELUANG MATEMATIKA

Frekuensi merupakan perbandingan antara banyaknya percobaan yang dilakukan dengan banyaknya kejadian yang diamati. Frekuensi bisa diketahui dengan menggunakan rumus :

Apabila setiap titik sampel dari anggota ruang sampel S mempunyai peluang yang sama, maka peluang kejadian K yang jumlah anggotanya dinyatakan dalam n(K)  bisa diketahui dengan rumus :

Peluang Munculnya kejadian bisa diperkirakan melalui notasi berikut ini :

Jika nilai P(K) = 0 maka kejadian K tersebut sangat mustahil untuk terjadi

Jika nilai P(K) = 1 maka kejadian K tersebut pasti akan terjadi


Perhatikan baik - baik contoh soal di bawah ini :

Contoh Soal :
Pada proses pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang munculnya mata dadu yang berangka ganjil

Penyelesaian :
Ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6

Mata dadu ganjil = {1, 3, 5}
n(S) = 3

maka P(K) = 3/6 = 1/2



Kejadian Majemuk

Kejadian Majemuk merupakan dua atau lebih kejadian yang dioperasikan sehingga terbentuklah sebuah kejadian yang baru.

Suatu kejadian K dan kejadian Komplemen berupa K' memenuhi persamaan :

P(K) + P(K') = 1 atau P(K') = 1 - P(K)

Contoh Soal :
Dari seperangkat kartu bridge, diambillah satu buah kartu secara acak. Tentukan peluang terambilnya kartu yang bukan As!

Penyelesaian :
Jumlah kartu bidge = n(S) = 52
Jumlah kartu As = n(K) = 4
P(K) = 4/52 = 1/13

Peluang yang terambilnya bukan kartu As = P(K') = 1-P(K) = 1 - 1/13 = 12/13


PENJUMLAHAN PELUANG

Kejadian Saling Lepas
Dua buah kejadia A dan B dikatakan saling lepas jika tidak ada satupun elemen pada kejadian A yang sama dengan elemen yang ada pada kejadian B. Untuk dua buah kejadian yang saling lepas, maka peluang salah satu A atau B mungkin terjadi, rumusnya adalah :

P(A u B) = P(A) + P(B)

Contoh Soal :
Dua buah dadu masing - masing berwarna merah dan putih dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali, tentukanlah peluang munculnya mata dadu yang berjumlah 3 atau 10!

Penyelesaian :
Hasil pelemparan dadu tersebut bisa digambarkan dengan tabel berikut ini :

Kejadian mata dadu berjumlah 3 ditandai dengan warna kuning
A = {(1, 2), (2, 1)}
n(A) = 2

Kejadian mata dadu berjumlah 10 ditandai dengan warna biru
B = {(4,6), (5,5), (6,4)}

Karena tidak ada elemen yang sama pada A dan B digunakan rumus :

P(A u B) = P(A) + P(B)
               = 2/36 + 3/36
               = 5/36


Kejadian Tidak Saling Lepas
Artinya ada elemen A yang sama dengan elemen B, rumusnya adalah sebagai berikut :

P(A u B) = (P(A) + P(B) - P(A n B)

Contoh Soal :
Sebuah kartu diambil dari tumpukkan kartu bridge secara acak. Tentukan peluang dari kartu yang terambil adalah kartu hati dan kartu bergambar (K, Q, J)!

Penyelesaian :
Jumlah kartu bridge = n(S) = 52
Jumlah kartu hati = n(A) = 13
Jumlah kartu bergambar = n(B) = 12

Karena ada kartu bergambar yang merupakan kelompok kartu hati (J hati, Q hati, dan K hati) maka A dan B tidak saling lepas sehingga digunakan rumus :

P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)
               = 13/52 + 12/52 - 3/52
               = 22/52
               = 11/26



Kejadian Saling Bebas
Dua buah kejadian bisa disebut saling bebas bila munculnya kejadian A tidak berpengaruh pada munculnya kejadian B sehingga peluang kejadian A dan B terjadi bersamaan bisa dituliskan menjadi :

P(A n B) = P(A) x P(B)

Contoh Soal :
Dalam percobaan pelemparan dua buah dadu, tentukan peluang munculnya angka genap pada dadu pertama dan angka ganjil prima pada dadu kedua!

Penyelesaian :
Misalkan A = Kejadian munculnya mata dadu genap pada dadu pertama = {2,4,6} maka P(A) = 3/6

Misalkan B = Kejadian munculnya mata dadu ganjil prima pada dadu kedua = {3,5} maka P(B) = 2/6

Karena kejadian A tidak berpengaruh pada kejadian B maka digunakan rumus :

P(A n B) = P(A) x P(B)
               = 3/6 x 2/6
               = 1/6




Kejadian Bersyarat
Kejadian bersyarat terjadi jika kejadian A mempengaruhi munculnya kejadian B atau sebaliknya. Maka bisa dituliskan menjadi :

P(A n B) = P(A) x P(B/A)

atau

P(A n B) = P(B) x P(A/B)


Contoh Soal :
Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 4 bola hijau. Jika diambil dua buah bola satu persatu tanpa adanya pengembalian, tentukanlah peluang bola yang terambil adalah bola merah pada pengembalian pertama dan bola hijau pada pengembalian kedua!

Penyelesaian :
Pada pengembalian pertama tersedia 5 bola merah dari 9 bola yang ada. Maka :
P(M) = 5/9

Pada pengembalian kedua ada 4 bola hijau dari 8 bola yang tersisa (dengan syarat bola merah telah terambil). Maka :
P(H/M) = 4/8

Karena kejadiannya saling berpengaruh, maka menggunakan rumus :

P(M n H) = P(M) x P(H/M)
                = 5/9 x 4/8
                = 5/18


Demikianlah pembahasan materi mengenai Pengertian dan Rumus Peluang Matematika SMP Terlengkap. Semoga kalian bisa memahami penjelasan dan contoh - contoh soal yang diberikan dengan mudah sehingga artikel ini bisa membantu kalian dalam menyelesaikan soal - soal yang berkaitang dnegan artikel ini.

Kumpulan Prediksi Soal Try Out SD dan MI

Selamat pagi teman-teman, semoga di pagi ini kita semua dapat belajar dan memiliki energi positif dalam menggali pengetahuan terutama tetang cara menghitung, dan mengkalkulasi otak kita untuk selalu membuat formulasi rumus matematika. Kali ini Admin akan share tentang prediksi soal try out untuk Sekolah Dasar dan Madrasah tahun .

Ujian Sekolah/Madrasah merupakan sebuah proses pengukuran hasil belajar siswa SD kelas VI yang dilaksanakan secara serentak di Indonesia. Hasil US/M SD/MI walapun tidak menentukan dalam kekulusan, tetapi memiliki makna yang penting bagi prestice siswa maupun sekolah. Disisi lain, adanya persaingan yang ketat untuk mendapatkan sekolah menengah pertama, menuntut siswa memperoleh nilai tertinggi agar mampu mendapatkan sekolah sesuai yang diinginkan. 

Dalam dua tahun  terakhir Kisi-Kisi US/M SD/MI yang diterbitkan oleh BALITBANG KEMDIKBUD indikatornya sangat gemuk yaitu: 61 indikator Bahasa Indonesia, 60 indikator Matematika, dan 59 indikator IPA. Dengan gemuknya indikator tersebut menuntut para guru untuk pandai-pandai memilih dan memilah mana indikator yang akan muncul dalam soal Ujian Sekolah. Walaupun kebijakan penyelenggaraan Ujian Sekolah diserahkan ke daerah/provinsi namun pusat masih menitipkan 25% soal untuk dimasukkan dalam soal Ujian Sekolah 2016-2017, sedangkan yang 75% daerah/provinsi. Semoga dengan banyak berlatih variasi soal akan dapat membawa hasil yang memuaskan.

1. Soal Try Out Bahasa Indonesia, download disini
2. Soal Try Out Matematika, download disini
3. Soal Try Out IPA, download disini

baca juga rangkuman materi matematika SD

Rangkuman Materi Cara Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) SMA Lengkap

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel - Sistem persamaan linear tiga variabel bisa diartikan sebagai himpunan dari tiga buah persamaan garis lurus dimana masing - masing persamaan tersebut terdiri dari tiga buah peubah (variabel). Ada beberapa metode yang bisa kita pakai untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, yaitu metode substitusi, eliminasi, dan determinan. Agar kalian bisa lebih memahami materi ini, sebaiknya kalian pelajari dulu materi tentang Sistem Persamaan Linear Dua Variabel.

Langkah Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sama halnya dengan prinsip penyelesaian persamaan yang lain, langkah awal kita harus mengurangkan (mengeliminasi) dua persamaan untuk memperoleh persamaan baru dengan menghilangkan satu buah variabel. Simak baik - baik contoh soal dan pembahasan di bawah ini ;

Contoh Soal :
Tentukan himpunan penyelesaian x, y dan z dari persamaan berikunt:

3x - y + 2z = 15    ......(i)
2x + y + z = 13     ......(ii)
3x + 2y + 2z = 24 ......(iii)

Penyelesaian :
Gunakan metode eliminasi terhadap 2 persamaan terlebih dahulu :

3x - y + 2z = 15 | X 1 → 3x - y + 2z = 15
2x + y + z = 13  | X 2 → 4x + 2y + 2z = 26
                         ____________________ - 
                                       -x - 3y = -11 ......(iv)


2x + y + z = 13      |X2 4x + 2y + 2z = 26
3x + 2y + 2z = 24  |X1 3x + 2y + 2z = 24
                              ____________________ -     
                                                       x = 2 ......(v)

Karena dari persamaan (v) kita sudah mendapatkan nilai x, sekarang tinggal menggunakan metode substitusi terhadap persamaan (iv), sehingga :

-x - 3y = -11
-(2) - 3y = -11
         3y = -11 + 2
              = 9
           y = 3

Sekarang kita telah mendapatkan nilai y. Lansung saja substitusikan nilai x dan y pada salah satu persamaan i, ii, atau iii untuk mengetahui nilai z.

2x + y + z = 13
2(2) + 3 + z = 13
    4 + 3 + z = 13
          7 + z = 13
                z = 13 - 7
                   = 6

Maka himpunan penyelesaian dari ketiga persamaan tersebut adalah {2; 3; 6}

Demikianlah pembahasan singkat materi mengenai Cara Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Semoga dengan adanya artikel ini bisa membantu kalian dalam menyelesaiakan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Teruslah belajar dan belajar!

Rangkuman Materi Pembahasan Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Lengkap

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers - Sebelum mempelajari materi ini, sebaiknya kalian memahami Teori dan Konsep Himpunan Matematika. Fungsi atau pemetaan termasuk ke dalam relasi karena di dalam sebuah1 fungsi dari himpunan A ke himpunan B terdapat relasi khusus yang memasangkan tiap - tiap anggota yang ada pada himpunan A dengan tiap - tiap anggota pada himpunan B. Agar bisa menyelesaikan soal - soal mengenai fungsi komposisi dan invers tentu kita harus memahami dengan baik konsep ataupun prinsip dasar dari fungsi komposisi dan fungsi invers.

Pengertian Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi

Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita bisa membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. Operasi komposisi bisa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran), fungsi baru yang bisa kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah :

(g o f) (x) artinya f dimasukkan ke g
(f o g) (x) artinya g dimasukkan ke f


Contoh Soal 1:
Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ...

Penyelesaian :
(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x
               = 3(2x) - 4
               = 6x - 4

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x
               = 2(3x - 4)
               = 6x - 8



Syarat Fungsi Komposisi

Contoh Soal 2:
Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :
f = {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}
g = {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}

Tentukan :
a. f o g                                d. (f o g) (2)
b. g o f                                e. (g o f) (1)
c. (f o g) (4)                         f. (g o f) (4)


Penyelesaian :
Pasangan terurut dari fungsi f dan g bisa digambarkan dengan diagram panah berikut ini :
a. (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}
b. (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}
c. (f o g) (4) = 5
d. (f o g) (2) = tidak didefinisikan
e. (g o f) (1) = -1


Sifat - Sifat Fungsi Komposisi

Fungsi Komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya :

Tidak Komutatif
(g o f)(x) = (f o g)(x)

Asosiatif
(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x))

Fungsi Identitas I(x) = x
(f o I(x) = (I o F)(x) = f(x)

Cara Menentukan Fungsi Bila Fungsi Komposisi dan Fungsi Yang Lain Diketahui

Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita bisa menentukan fungsi g demikian juga sebaliknya.

Contoh Soal 3 :
Misal fungsi komposisi (f o g)(x) = -4x + 4 dan f(x) = 2x + 2
Tentukan fungsi g(x)!

Penyelesaian :
(f o g) (x)    = -4x + 4
f (g (x))       = -4x + 4
2 (g (x)) + 2 = -4x + 4
2 g (x)         = -4x + 2
   g (x)         = -4x + 2
                           2
   g (x)         = -2x + 1
Jadi, fungsi g (x) = -2x + 1



Fungsi Invers

Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f^-1 :B -> A. Bisa disimpulkan bahwa daerah hasil dari f^-1(x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.

Cara Menentukan Fungsi Invers Bila Fungsi f(x) Telah Diketahui :

Pertama
Ubah persamaan y = f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y

Kedua
Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f^-1(y)

Ketiga
Ubah y menjadi x[f^-1(y) menjadi f^-1(x)]


Contoh Soal :

Demikianlah pembahasan materi mengenai Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers. Semoga kalian bisa memahami penjelasan dan contoh soal yang diberikan dengan mudah sehingga artikel ini bisa membantu kalain dalam menyelesaikan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Selamat belajar!

Rangkuman Materi Materi Rumus Barisan dan Deret Geometri Lengkap Lengkap

Rumus Barisan dan Deret Geometri - Di dalam matematika terdapat dua jenis barisan dan deret. Yang pertama adalah barisan dan deret aritmatika dan yang kedua adalah barisan dan deret geometri. Dalam artikel sebelumnya telah disampaikan materi mengenai Barisan dan Deret Aritmatika, maka kali ini materi yang akan dibahas difokuskan kepada penjelasan mengenai definisi dan rumus - rumus yang digunakan dalam barisan dan deret geometri.

Pengertian dan Rumus Barisan Geometri

Barisan geometri didefinisikan sebagai barisan yang tiap - tiap sukunya didapatkan dari hasil perkalian sebelumnya dengan sebuah konstanta tertentu.

Contoh Barisan Geometri

3, 9, 27, 81, 243, ...

Barisan di atas merupakan contoh barisan geometri dimana setiap suku pada barisan tersebut merupakan hasil dari perkalian suku sebelumnya dengan konstanta 3. Maka disimpulkan bahwa rasio pada barisan di atas adalah 3. Rasio pada suatu barisan bisa dirumuskan menjadi :

r = ak + 1/ak

dimana ak adalah sembarang suku dari barisan yang ada. Sementara ak+1 adalah suku selanjutnya setelah ak.

Untuk menentukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri, kita bisa menggunakan rumus :

Un = ar^n-1

dimana a merupakan suku awal dan r adalah nilai rasio dari sebuah barisan geometri.


Perhatikan baik - baik penggunaan rumus di atas dalam menyelesaikan soal :

Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Geometri

Contoh Soal 1 :
Sebuah bakteri mampu melakukan pembelahan diri menjadi 4 setiap 12 menit. Berapakah jumlah bakteri yang ada setelah 1 jam apabila sebelumnya terdapat 3 buah bakteri?

Penyelesaian :
a = 3
r = 4
n = 1 jam/12 menit = 60/12 = 5

Masukkan ke dalam rumus
Un = ar^n-1
U5 = 3 x 4^5-1
      = 3 x 256
      = 768 bakteri

Pengertian dan Rumus Deret Geometri

Deret geometri bisa diartikan sebagai jumlah dari n suku pertama pada sebuah barisan geometri. Jika suku ke-n dari suatu barisan geometri digambarkan dengan rumus : an = a1r^n-1, maka deret geometrinya dijabarkan menjadi :

Sn = a1 + a1r + a1r² + a1r³ + ... + a1r^n-1

Apabila kita mengalikan deret geometri di atas dengan -r, lalu kita jumlahkan hasilnya dengan deret aslinya, maka kita akan memperoleh :

Setelah diperoleh Sn - rSn = a1 - a1rⁿ maka kita bisa mengetahui nilai dari suku n pertama dengan cara berikut :

Berdasarkan hasil perhitungan di atas, kita bisa menyimpulkan bahwa rumus jumlah n suku pertama pada sebuah barisa geometri adalah :

Perhatikan cara penggunaan rumus tersebut pada contoh soal berikut ini :

Contoh Soal Deret Geometri

Contoh Soal 2:
Tentukanlah jumlah 8 suku pertama dari barisan geometri 2, 8, 32, ...

Pembahasan :
a = 2
r = 4
n = 8

Sn = a (1-r) / (1-r)
     = 2 (1-4) / (1-4)
     = 2 (1 - 65536) / (-3)
     = 2 (-65535) / (-3)
     = 2 x 21845
     = 43690


Demikianlah pembahasan materi mengenai Rumus Barisan dan Deret Geometri dilengkapi Dengan Pembahasan Contoh Soal. Semoga kalian bisa memahami pembahasan materi ini dengan mudah sehingga kalian tidak akan mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal - soal yang berkaitan dengan artikel ini. Selamat belajar!

Rangkuman Materi Pengertian Transpose Matriks, Sifat-sifatnya serta Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap

Pengertian Transpose Matriks  - Yang dimaksud dengan transpose matriks yaitu ketika pada sebuah matriks dilakukan pertukaran antara dimensi kolom dan barisnya. Definisi lain dari transpose matriks adalah sebuah matriks yang didapatkan dengan cara memindahkan elemen - elemen pada kolom menjadi elemen baris dan sebaliknya. Biasanya sebuah matriks transpose disimbolkan dengan menggunakan lambang tanda petik (A') ataupun dengan hurut T kecil di atas (A^T). Perhatikan gambar berikut ini :

Berdasarkan gambar di atas dapat didefinisikan bahwa matriks m x n berubah menjadi m x n. Jika diperhatikan, elemen - elemen yang ada pada baris satu berubah posisi menjadi elemen kolom 1. Elemen pada baris 2 berubah menjadi elemen pada kolom 2, begitu juga dengan elemen pada baris ke-3 berubah posisi menjadi elemen kolom ke-3/ Sekarang perhatikan baik - baik sifat - sifat yang berlaku untuk transpose matriks.

Sifat - Sifat Matriks Transpose

Transpose matriks memiliki beberapa sifat yang menjadi dasar di dalam operasi perhitungan matriks, yaitu :

(A + B)^T = A^T + B^T

(A^T)^T = A

λ(A^T) = (λA^T), bila λ suatu scalar

(AB)^T = B^T A^T

Contoh Soal dan Pembahasan Transpose Matriks

Berikut adalah salah satu contoh soal tentang transpose matriks dan pembahasan mengenai cara menjawab dan menyelesaikannya :

Demikianlah pembahasan materi mengenai Pengertian Transpose Matriks, Sifat-sifatnya serta Contoh Soal dan Pembahasan. Semoga kalian bisa memahami penjelasan dan contoh soal yang diberikan dengan mudah sehingga kalian tidak akan mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini.

Rangkuman Materi Materi Pengertian dan Jenis-jenis Matriks Matematika Lengkap Lengkap

Pengertian Matriks - Dalam artikel kali ini akan membahas materi mengenai definisi atau pengertian matriks matematika serta unsur - unsur yang ada di dalamnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan baik - baik pembahasan berikut ini:

Definisi Matriks dan Jenis - Jenis Matriks Matematika

Dalam matematika, matriks merupakan kumpulan bilangan, simbol atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan - bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks.

Selanjutnya, secara umum matriks bisa diartikan sebagai sebuah susunan atau kumpulan dari beberapa bilangan yang disusun berdasarkan kepada baris dan kolom yang bentuknya persegi panjang. Matriks mempunyai ciri khas khusus dimana biasanya bilangan yang menjadi elemen dari sebuah matriks disusun dengan diapit oleh tanda kurung siku [] namun terkadang ada juga elemen matriks yang diapit oleh tanda kurung biasa ().

Ukuran dari sebuah matriks disebut dengan ordo yang menjelasakan jumlah dari kolom dan baris yang ada di dalam matriks tersebut.

Ukuran dari sebuah matriks bisa disimbolkan dengan rumus sebagai berikut :

Amxn

A = Nama Matriks
m = jumlah baris
n = jumlah kolom
mxn = ordo matriks

Contoh :

Jangan sampai terbalik dalam membaca ordo matriks, ingatlah bahwa ordo matriks merupakan banyaknya baris dikali dengan banyaknya kolom.

Diagonal Utama dan Diagonal Sekunder Pada Matriks

Di dalam materi mengenai matriks juga dikenal dengan istilah diagonal. Terdapat dua jenis diagonal di dalam matriks yaitu diagonal utama dan diagonal sekunder. Diagonal utama merupakan garis miring yang ditarik dari sisi kiri atas matriks menuju sisi kanan bawah matriks. Sementara diagonal sekunder adalah kebalikannya. Seperti bisa dilihat pada gambar di bawah ini :

Jenis - Jenis Matriks Berdasarkan Banyaknya Baris dan Kolom

Matriks Persegi
Merupakan matriks yang memiliki baris dan kolom yang sama, misalnya 4x4, 2x2, atau 5x5. Sehingga ordonya dialmbangkan n x n.

Matriks Baris
Adalah matriks yang hanya memiliki satu buah baris namun memiliki beberapa kolom. Matriks ini ordonya adalah 1 x n dimana n harus lebih besar dari 1. Contohnya 1 x 2, 1 x 4, 1 x 5, 1 x 6, dan lain sebagainya.

Matriks Kolom
Merupakan kebalikan dari matriks baris. Hanya terdiri dari satu kolom namun memiliki beberapa baris. Ordo dari matriks ini adalah n x 1 dimana n harus lebih besar dari 1. Contohnya adalah 2 x 1, 3 x 1, 4 x 1, 5 x 1, dan lain sebagainya.\

Matriks Mendatar
Adalah matriks yang mempunyai jumlah kolom yang lebih banyak dibandingkan jumlah barisnya. Contohnya adalah 3 x 5, 4 x 6, dan lain sebagainya.

Matriks Tegak
Merupakan kebalikan dari matriks mendatar dimana jumlah barisnya lebih banyak dibandingkan jumlah kolomnya. Contohnya adalah 6 x 3, 4 x 2, 8 x 5, dan lain sebagainya.

Jenis Matriks Berdasarkan Pada Pola Elemennya

Matriks Nol
Merupakan matriks dengan ordo m x n dimana seluruh elemennya memiliki nilai nol.

Matriks Diagonal
Merupakan matriks persegi yang elemennya bernilai nol kecuali pada diagonal utamanya.

Matriks Identitas
Adalah matriks yang diagonal utamanya di isi dengan elemen bernilai 1 sementara elemen yang lain nilainya adalah nol.

Matriks Segitiga Atas
Adalah matriks yang keseluruhan nilai di bawah diagonal utamanya adalah nol.

Matriks Segitiga Bawah
Merupakan kebalikan dari matriks segitiga atas dimana seluruh elemen yang ada di atas diagonal utamanya bernilai nol.

Matriks Simetris
Merupakan sebuah matriks dimana elemen yang ada di atas dan di bawah diagonal utamanya memiliki susunan nilai yang sama.

Matriks Skalar
Merupakan matriks yang memiliki elemen diagonal utama bernilai sama sementara elemen yang lain nilainya adalah nol.

Demikianlah pembahasan materi mengenai Pengertian dan Jenis-jenis Matriks Matematika Lengkap. Semoga artikel ini bisa memberikan pengetahuan yang baik bagi kalian terutama tentang matriks matematika. Selamat belajar!

Rangkuman Materi Penjelasan Sifat-sifat Bilangan Pangkat Bulat Positif SMA Kelas X Lengkap

Sifat-sifat Bilangan Pangkat Bulat Positif - Dalam artikel sebelumnya telah menyampaikan materi mengenai Pengertian, Operasi, Rumus dan Sifat-sifat Bilangan Berpangkat. Pembahasan kali ini masih memberikan penjelasan mengenai sifat - sifat dari masing - masing bentuk bilangan berpangkat. Bilangan berpangkat ada beberapa jenis, mulai dari bilangan berpangkat bulat positif, bilangan berpangkat negatif, dan ada juga bilangan berpangkat nol. Artikel ini akan membahas lebih fokus pada bilangan berpangkat bulat positif lalu dilanjutkan dengan sifaf pembagiannya.

Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat Positif

Agar kalian bisa memahami dengan baik, perhatikan operasi hitung berikut ini :

4³ x 4⁶ = (4 x 4 x 4) x (4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4)
                = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4
                = 4⁹

Maka disimpulkan bahwa :

4³ x 4⁶ = 4³⁺⁶

Penjelasan perhitungan di atas sesuai dengan sifat :

a^m x aⁿ = a^m+n

Dimana a merupakan bilangan rasional, sedangkan m dan n merupakan bilangan bulat positif.

Sifat perkalian di atas akan lebih mudah dimengerti dengan mengamati contoh soal dan pembahasannya berikut ini :

Contoh Soal 1 :
Tentukan hasil perkalian dari bilangan berpangkat di bawah ini dengan menggunakan sifat perkalian bilangan berpangkat bulat positif :
a. 3⁵ x 3²
b. (-4)³ x (-4)²
c. 5³ x 6⁴
d. 7y² x y³

Pembahasan :

a. 3⁵ x 3² = 3⁵⁺²
                 = 3⁷ = 2187

b. (-4)³ x (-4)² = (-4)³⁺²
                        = (-4)⁵ = -1024

c. Karena bilangan pokoknya berbeda (5 dan 6), kita tidak bisa menyederhanakan perkalian ini dengan sifat perkalian bilangan berpangkat :
5³ x 6⁴ = 125 x 1296 = 162000


d.  7y² x y³ = 7y²⁺³
                    = 7y⁵

Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat Bilangan Bulat Positif

Sama halnya dengan sifat perkalian, pada sifat pembagian bilangan berpangkat posisitf kita juga harus memperhatikan dan mengamati konsep dasarnya terlebih dahulu :

4⁵/4² = (4 x 4 x 4 x 4 x 4) / (4 x 4)
             = 4 x 4 x 4
             = 4³
4⁵/4² = 4^5-2

Maka bisa disimpulkan bahwa :

4⁵/4² = 4^5-2

Konsep perhitungan tersebut sesuai dengan sifat :

a^m / aⁿ = a^m-n

Dimana a merupakan bilangan rasional yang tidak sama dengan 0 sedangkan m dan n merupakan bilangan bulat positif dengan syarat m lebih besar daripada n.

Berikut penjelasan contoh soal tentang sifat di atas :

Contoh Soal 2 :
Tentukan hasil pembagian dari bilangan berpangkat di bawah ini dengan menggunakan sifat pembagian bilangan berpangkat bulat positif :

a . 2⁸/2³
b. -3⁷/-3⁵
c. 3q⁶/q³

Pembahasan :

a. 2⁸/2³ = 2^8-3
                =2⁵
                = 32

b. -3⁷/-3⁵ = -3^7-5
                   = -3²
                 = 9

c. 3q⁶/q³ = 3q^6-3
                  = 3q³


Demikianlah pembahasan materi mengenai Sifat-sifat Bilangan Pangkat Bulat Positif SMA Kelas X. Semoga kalian bisa memahami penjelasan dan contoh - contoh soal di atas dengan mudah, sehingga kalian tidak akan mengalami kesulitan dalam mengerjakan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Selamat belajar!

Rangkuman Materi Penjelasan Metode Substitusi dan Eliminasi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Lengkap

Penjelasan Metode Subtitusi dan Eliminasi - Dalam menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel, ada berbagai jenis metode yang bisa digunakan diantaranya adalah metode substitusi dan eliminasi. Agar bisa menyelesaikan persoalan mengenai SPLDV kita harus memahami dengan baik berbagai metode tersebut. Berikut akan memberikan penjelasan mengenai dua metode tersebut.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan Metode Substitusi dan Eliminasi

Metode Substitusi

Metode substitusi merupakan cara menyelesaikan persamaan dengan memasukkan salah satu persamaan ke dalam persamaan yang lain. Perhatikan baik - baik contoh soal berikut ini :

Contoh Soal :
Tentukan nilai p dan q pada perssamaan berikut dengan menggunakan metode substitusi :

4p + 3q = 18
p + q = 8

Pembahasan :
Karena persamaan kedua lebih sederhana, kita bisa mengubahnya menjadi 8-p = q setelah itu kita masukkan ke dalam persamaan yang pertama :

4p + 3q = 18
4p + 3 (8-p) = 18
4p + 24 - 3p = 18
4p - 3p = 18 - 24
p = -6

Setelah kita mendapatkan nilai p = -6 lalu kita masukkan ke dalam persamaan kedua untuk mendapatkan nilai q :

p + q = 8
-6 + q = 8
q = 8 + 6
   = 14


Metode Eliminasi

Metode eliminasi merupakan sebuah cara menyelesaikan persamaan dengan cara menghilangkan salah satu dari variabel yang ada.

Contoh Soal :
Tentukan nilai x dan y dari persamaan berikut dengan menggunakan metode eliminasi :

8x + 3y = 48
3x + y = 17

Pembahasan :
Langkah pertama kita harus mencari nilai variabel x dengan menghilangkan variabel y.  Pada persamaan pertama nilai y adalah 3 sementara pada persamaan kedua nilai y adalah 1. Maka kita kalikan persamaan pertama dengan 1 dan persamaan kedua dengan 3 agar nilai y  bisa dihilangkan, sehingga :

8x + 3 y = 48 | X1 -> 8x + 3y = 48
3x + y = 17    | X3 -> 9x + 3y = 51 -
                                   -x = -3
karena -x = -3 maka x = 3

Setelah kita mengetahui nilai x, kita bisa mencari nilai y dengan memasukkan nilai x ke dalam salah satu persamaan di atas :

8x + 3y = 48
8 (3) + 3y = 48
24 + 3y = 48
3y = 48 - 24
     = 24
  y = 24 / 3
     = 8

Maka, kita sudah mendapatkan nilai x = 3 dan nilai y = 8
Untuk membuktikannya mari kita masukkan nilai x dan y ke dalam persamaan kedua :

3x + y = 17
3 (x) + 8 = 17
9 + 8 = 17

Ternyata terbukti nilai x dan y tersebut benar.


Demikianlah pembahasan materi mengenai Penjelasan Metode Substitusi dan Eliminasi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Semoga kalian bisa memahami pembahasan materi di atas dan bisa menguasai contoh - contoh soal yang diberikan dengan mudah, sehingga kalian tidak akan mengalami kesulitan dalam mengerjakan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Selamat belajar!