Rangkuman Materi Penjelasan Unsur-unsur Lingkaran Terlengkap Lengkap

Sebuah lingkaran memiliki bagian - bagian tersendiri yang menjadi unsur - unsur pembentuk lingkaran. Unsur - unsur lingkaran terdiri dari jari - jari, busur, diameter, titik pusat, juring, sudut pusat, apotema dan juga sudut lingkaran. Berikut adalah gambaran unsur yang ada pada lingkaran :

Unsur - Unsur Pembentuk Bangun Datar Lingkaran

Titik Pusat

Titik pusat merupakan sebuah titik yang berada tepat ditengah lingkaran. Jika kalian melihat pada gambar di atas, titik pusat terletak pada huruf O.


Jari - jari

Jari - jari pada lingkaran bisanya dilambangkan dengan huruf 'r'. Pada bangun datar lingkaran, jari - jari merupakan jarak antara titik pusat lingkaran dengan garis lengkung lingkaran. Garis OD, OC, OB, dan OA pada gambar di atas menunjukkan jari - jari dari sebuah lingkaran.


Diameter

Diameter pada lingkaran biasanya dilambangkan dengan huruf 'd'. Diameter merupakan jarak antara dua titik lengkung yang ada pada lingkaran. Jika kita menggambar sebuah garis melintang dari salah satu titik lengkung melintasi titik pusat dan berhenti pada titik lengkung lingkaran yang lain, maka garis itu disebut sebagai diameter lingkaran. Perhatikan gambar di atas, diameter dilambangkan dengan garis A menuju B dan C menuju D atau sebaliknya.


Busur

Busur lingkaran didefinisikan sebagai garis lengkung yang berada pada keliling lingkaran. Jika kalian memperhatikan gambar lingkaran di atas, busur pada lingkaran merupakan garis lengkung dari A ke C, C ke B, dan B ke D. Garis tersebut disebut sebagai busur lingkaran karena bentuknya yang menyerupai busur panah.


Tali Busur

Bagian lingkaran yang disebut sebagai tali busur yaitu garis yang ditarik lurus dari salah satu titik lengkung lingkaran menuju titik lengkung yang lain tanpa melalui titik pusat lingkaran, Garis yang menghubungkan titik A dengan titik D pada gambar di atas merupakan unsur lingkaran yang disebut sebagai tali busur. Seperti halnya pada busur panah, tali busur adalah yang diikatkan pada kedua ujung busur.


Tembereng

Tembereng bisa diartikan sebagai luas daerah yang berada dalam lingkaran dimana daerah tersebut dibatasi oleh tali busur dan busur. Daerah berwarna hijau yang dibatasi garis AD dalam gambar di atas, adalah salah satu contoh bagian lingkaran yang disebut sebagai tembereng.


Juring

Juring merupakan daerah yang lebih luas dari tembereng. Juring adalah luas daerah yang dibatasi oleh dua buah garis jari - jari dan sebuah busur lingkaran yang posisinya diapit oleh dua buah jari - jari tersebut. Untuk lebih mudahnya, kalian bisa melihat daerah tembereng pada lingkaran di atas yaitu bagian hijau yang dibatasi oleh garis OB dan OC yang mengapit busur BC.


Apotema

Jika kita menarik sebuah garis tegak lurus dari titik pusat sampai pada salah satu tali busur, maka garis tersebutlah yang dinamakan sebagai apotema. Dalam gambar di atas, kita bisa melihat bahwa apotema adalah garis yang ditarik dari O menuju  F.

Unsur lingkaran selanjutnya, akan dijelaskan melalui gambar di bawah ini :

Sudut Pusat

Berdasarkan gambar di atas, sudut pusat adalah sudut yang terbentuk oleh dua buah jari - jari (AO dan OB). Sudut yang terbentuk antara titik A, O, dan B merupakan sudut pusat lingkaran.


Sudut Keliling

Jika sudut pusat terbentuk oleh bertemungya dua buah jari - jari pada titik pusat, maka sudut keliling adalah sudut yang terbentuk oleh bertemunya dua buah tali busur. Seperti bisa kalian lihat pada gambar di atas, sudut yang terbentuk antara titik A, C, dan B adalah sudut keliling lingkaran dengan titik sudut berada di C.

Rangkuman Materi Rumus Cara Mencari Luas Selimut Kerucut Dan Contoh Soalnya Lengkap

Dalam artikel sebelumnya,  telah menjelaskan materi mengenai Rumus Cara Mencari Volume Kerucut Beserta Contoh Soalnya.  Maka materi kali ini akan dilanjutkan mengenai bagaimana cara menghitung dan mencari luas selimut dari bangun ruang kerucut. Seperti yang kita ketahui, sebuah kerucut memiliki sisi alas (bawah) yang berbentuk lingkaran. Sedangkan bagian yang membentuk sudut lancip adalah bidang lengkung yang disebut sebagai selimut kerucut. Jadi, kerucut memiliki dua buah sisi, sisi yang pertama yaitu sisi alas sementara sisi yang kedua adalah sisi selimut.
Perhatikan baik - baik gambar berikut ini ;

Berdasarkan gambar kerucut di atas, tinggi kerucut dilambangkan dengan huruf t, huruf r merupakan jari - jari dan kerucut tersebut, sementara huruf merupakan garis pelukis.

Rumus Cara Mencari Luas Selimut Kerucut Dilengkapi Pembahasan Contoh Soal

Jika sebuah kerucut dipotong dengan mengikuti garis pelukisnya, maka akan terbentuk sebuah jaring - jaring kerucut seperti gambar di bawah ini :

Luas kerucut dari gambar di atas merupakan hasil dari penjumlahan luas bidang A dengan luas CBB. Untuk mengetahui luas permukaan dari sebuah kerucut maka kalian harus mencari tahu terlebih dahulu luas dari selimutnya. Luas selimut kerucut bisa diketahui dengan menggunakan rumus sebagai berikut :

Luas Selimut Kerucut = πsr

π = 22/7
s = panjang garis pelukis
r = jari - jari

Simak baik - baik penggunaan rumus tersebut dalam pembahasan soal di bawah ini :
Contoh Soal :

1. Diketahui sebuah kerucut memiliki jari - jari 3 cm dan memiliki panjang garis pelukis 5 cm.
      Maka tentukanlah :

a. Tinggi kerucut
b. Volume kerucut
c. Luas selimut kerucut
d. Luas permukaan kerucut

Penyelesaian :

a. Tinggi kerucut
    Untuk mengetahui tinggi kerucut, kita bisa menggunakan rumus phytagoras seperti berikut ini :

    t2 = s² - r²
        = 5² - 3²
        = 25 - 9
        = 16
    t   = √16
        = 4 cm

b. Volume kerucut
    V = 1/3 π r² t
        = 1/3 x 3,14 x 3 x 3 x 4
        = 3.768 cm³

c. Luas selimut kerucut
   L = π r s
      = 3,14 x 3 x 5
      = 471 cm²

d. Luas permukaan kerucut
    L = r s (s + r)
       = 3,14 x 3 (5 + 3)
       = 3,14 x 3 x 8
       = 75,36 cm²

Rangkuman Materi Memahami Rumus Mencari Panjang Busur Lingkaran Lengkap

Busur merupakan garis lengkung yang diambil dari garis keliling lingkaran, Busur termasuk ke dalam salah satu unsur yang ada di dalam bangun datar lingkaran. Dalam artikel kali ini akan dibahas mengenai cara menghitung panjang juring lingkaran. Letak busur lingkaran bisa dilihat pada gambar di bawah ini :

Garis lengkung dari A ke C dalam lingkaran tersebut merupakan unsur lingkaran yang disebut sebagai busur.  Berikut akan dijabarkan cara dan rumus menghitung rumus panjang busur lingkaran. Perhatikan baik - baik.

Cara Menghitung Rumus Panjang Busur Lingkaran

Rumus yang digunakan dalam menghitung panjang busur hampir mirip dengan rumus juring pada lingkaran, hanya saja, yang dibandingkan disini yaitu keliling lingkaran bukan luas lingkarang. Jika kalian memperhatikan gambar di atas, titik O merupakan titik pusat sekaligus menjadi pusat busur AC, sehingga rumus panjang busur AC adalah :

∠ AOC = Panjang Busur AC
 360°        Keliling Lingkaran

Panjang Busur AC = ∠ AOC x Keliling Lingkaran
                                     360°
                                = ∠ AOC x 2πr
                                      360°

Panjang Busur = Besar Sudut Juring x 2πr
                                         360°

Rumus di atas akan kita terapkan ke dalam pembahasan contoh soal berikut ini :

Contoh Soal Rumus Panjang Busur Lingkaran

Contoh Soal :

1. Perhatikan baik - baik gambar di bawah ini :

Hitunglah panjang busur AB dari lingkaran di atas!

Penyelesaian :
Panjang Busur AB = ∠AOB x 2πr
                                    360°
                                = 90° / 360° x 2 x (22/7) x 14
                                = ¼ x 2 x 44
                                = ¼ x 88
                                = 22 cm
Jadi, panjang busur AB dari lingkaran di atas adalah 22 cm.


2.  Sebuah lingkaran memiliki juring dengan besar sudut 45°, jika jari - jari lingkaran tersebut memiliki panjang 21 cm, berapakah panjang busur yang ada di hadapan sudut 45° tersebut?

Penyelesaian :
Panjang Busur = Besar sudut juring x 2πr
                                       360°
                          = 45° / 360° x 2 x (22/7) x 21
                          = 1/8 x 2 x 66
                          = 1/8 x 132
                          = 16,5 cm
Jadi, panjang busur yang ada di hadapan sudut 45° tersebut adalah 16,5 cm.

Rangkuman Materi Rumus Cara Mencari Volume Kerucut Beserta Contoh Soalnya Lengkap

Kerucut atau sering disebut sebagai limas istimewa karena bentuk alasnya berbentuk lingkaran. Kerucut mempunyai dua sisi dan satu buah rusuk. Bentuk kerucut sering kita jumpai pada benda - benda disekitar kita seperti topi ulang tahun, nasi tumpeng, pembatas jalan, dan masih banyak benda lainnya yang bentuknya menyerupai kerucut. Gambar kerucut nampak seperti di bawah ini :

Rumus Untuk Mencari Volume Kerucut

Karena bentuk alas kerucut merupakan lingkaran dan pada bagian atasnya lancip seperti limas, maka rumus volumenya pun akan mirip dengan tabung ataupun limas. Jika diperhatikan, rumus volume kerucut menggunakan πr² yang merupakan rumus luas lingkaran. Sementara 1/3 x t digunakan pada rumus volume limas. Maka untuk mengetahui isi ataupun volume dari sebuah bangun ruang yang berbentuk kerucut menggunakan rumus :

Volume kerucut = 1/3 x πr² x t


Di bawah ini ada beberapa contoh soal yang bisa kalian pelajari guna memahami penggunaan rumus di atas :

Contoh Soal 1 :
Sebuah topi ulang tahun berbentuk kerucut memiliki ukuran jari - jari (r) 7 cm dan tingginya adalah 14 cm. Maka berapakah volume dari topi ulang tahun tersebut ?

Penyelesaian :
Volume kerucut = 1/3 x πr² x t
                            = 1/3 x 22/7 x 7 x 7 x 14
                            = 1/3 x 154 x 14
                            = 1/3 x 2156
                            = 718.66 cm³
Jadi, volume topi ulang tahun tersebut adalah 718,66 cm³.


Contoh Soal 2 :
Diketahui volume dari sebuah pembatas jalan berbentuk kerucut 4620 cm³. Jika jari - jari pembatas jalan tersebut adalah 21 cm, maka berapakah tingginya ?

Penyelesaian :
Volume kerucut  = 1/3 x πr² x t
           4620 cm³ = 1/3 x 22/7 x 21 x 21 x t
           4620 cm³ = 1/3 x 1386 x t
           4620 cm³ = 462 t
                          t = 4620 / 462
                            = 10
Jadi, tinggi pembatas jalan tersebut adalah 10 cm.

Demikianlah pembahasan materi mengenai Rumus Cara Mencari Volume Kerucut Beserta Contoh Soalnya. Semoga kalian bisa memahami penjelasan dan contoh soal di atas dengan mudah sehingga artikel ini bisa membantu kalian dalam menyelesaikan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini.

Rangkuman Materi Rumus Cara Mencari Volume Limas Segitiga Dilengkapi Pembahasan Contoh Soal Lengkap

Rumus Volume Limas Segitiga - Limas merupakan salah satu bangun ruang yang ada di dalam pembahasan pelajaran matematika. Limas segitiga memiliki empat buah sisi dengan enam rusuk yang saling bertemu pada empat buah titik sudut. Bila digambarkan maka bentuk limas segitiga akan terlihat seperti ini :

Perlu diingat bahwa limas segitiga berbeda dengan limas segiempat. Yang membedakannya yaitu bentuk alasnya. Pada limas segitiga bentuk alasnya adalah berbentuk segitiga sedangkan pada limas segiempat tentu saja alasnya berbentuk segiempat. Oleh karenanya rumus untuk menghitungnya pun berbeda.

Rumus Cara Mencari Volume Limas Segitiga

Untuk mengetahui volume dari sebuah bangun ruang yang berbentuk limas segitiga, maka rumus yang digunakan adalah :

Volume limas segitiga = 1/3 x (1/2 x panjang x lebar) x tinggi
                                   V = 1/3 x (1/2 x p x l) x t

Langsung saja kita lihat bagaimana cara mengaplikasikan rumus tersebut dalam menjawab soal :

Contoh soal dan pembahasan mengenai rumus volume limas segitiga

Contoh Soal 1 :
Diketahui sebuah limas memiliki alas berbentuk segitiga dengan panjang 7 cm dan lebar 6 cm. Jika tinggi limas tersebut adalah 10 cm, maka tentukanlah volumenya!

Penyelesaian :
V = 1/3 x (1/2 x p x l) x t
    = 1/3 x (1/2 x 7 x 6) x 10
    = 1/3 x (1/2 x 42) x 10
    = 1/3 x 21 x 10
    = 1/3 x 210
    = 70 cm³
Jadi, volume limas tersebut adalah 70 cm³.


Contoh Soal 2 :
Jika diketahui volume sebuah limas segitiga adalah 30 cm³. Panjang dan lebar limas berturut - turut adalah 9 cm dan 4 cm. Maka berapakah tinggi limas tersebut?

Penyelesaian :
V = 1/3 x (1/2 x p x l) x t
30 cm³ = 1/3 (1/2 x 9 x 4) x t
30 cm³ = 1/3 x (1/2 x 36) x t
30 cm³ = 1/3 x 18 x t
30 cm³ = 6 x t
          t = 30 / 6
            = 5 cm
Jadi, tinggi dari limas tersebut adalah 5 cm.


Cukup sampai disini dulu pembahasan materi kita kali ini. Semoga artikel ini bisa menambah wawasan kalian tentang Rumus cara Mencari Volume Segitiga dan semoga kalian tidak akan mengalami kesulitan dalam mengerjakan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Selamat belajar!

Rangkuman Materi Garis Istimewa pada Segitiga dan Rumus Cara Menghitungnya Lengkap

Belajar Matematikaku - Dalam artikel kali ini akan membahas materi mengenai Garis Istimewa pada Segitiga dan Rumus Cara Menghitungnya. Pada segitiga terdapat 4 jenis garis istimewa yaitu garis tinggi atau altitude, garis berat atau median, garis bagi atau angle bisector, dan garis sumbu atau perpendicular bisector. Dari setiap jenis garis istimewa tersebut mempunyai pengertian tersendiri. Berikut pembahasan mengenai garis - garis istimewa tersebut beserta contoh soal.

Pengertian Garis Istimewa Pada Segitiga dan Rumus Cara Menghitungnya

Garis Tinggi (altitude)

Garis tinggi merupakan sebuah garis tegak lurus yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga menuju sisi yang ada di hadapannya.
Perhatikan gambar di bawah ini :

Pada gambar segitiga di atas, putus - putus yang menghubungkan titik C dan D adalah garis tinggi dimana alasnya merupakan garis AB. Akan tetapi, garis tinggi tidak selamanya muncul pada garis AB. Sebagai contoh, dalam sebuah segitiga tumpul, garis tinggi biasanya didapat dengan menggambar perpanjangan dari garis AB tersebut. Perhatikan gambar berikut ini :

Panjang garis tinggi bisa diketahui dengan cara menghitung luas segitiganya terlebih dahulu dengan menggunakan rumus luas segitiga (1/2 x alas x tinggi). Dengan rumus tersebut kita bisa mengetahui tinggi sebuah segitiga. Perhatikan baik - baik pembahasan di bawah ini :

Dalam segitiga PQR berikut ini, panjang PQ adalah 24 cm, panjang QR adalah 20 cm dan panjang PS adalah 16 cm. Maka, berapakah panjang RT?

Penyelesaian :
Dari segitiga tersebut kita bisa mengetahui bahwa : luas segitiga dengan alas PQ = luas segitiga dengan alas QR. Maka cara menghitungnya adalah :

1/2 x PQ x PS = 1/2 x QR x RT
 1/2 x 24 x 16 = 1/2 x 20 x RT
           24 x 16 = 20 x RT
                 384 = 20 RT
                   RT = 384 / 20
                         = 19,2 cm

Garis Berat (median)

Garis berat merupakan sebuah garis yang ditarik dari salah satu titik yang ada pada segitiga menuju ke sebuah titik tengah pada sisi yang berlawanan. Dengan menarik sebuah garis berat pada sisi yang berlawanan. Dengan menarik sebuah garis berat pada segitiga akan menghasilkan dua buah segitiga yang sama luas. Perhatikan gambar segitiga berikut ini. Dengan menarik garis berat CD maka akan terbentuk dua buah segitiga ACD dan BCD yang sama luasnya.

Jika kita menarik tiga buah garis berat pada segitiga. Maka garis berat tersebut akan saling berpotongan pada sebuah titik pusat. Titik pusat ini dinamakan sebagai centroid dimana pada titik inilah segitiga tersebut bisa meraih kesetimbangan.

Keistimewaan dari garis berat yang muncul pada segitiga adalah garis - garis berat tersebut akan selalu berpotongan dengan persentasi perbandingan 2 : 1

Panjang garis berat bisa diketahui dengan menggunakan rumus :

Untuk memahami rumus tersebut, perhatikan baik - baik contoh soal dan pembahasan di bawah ini :

Sebuah segitiga DEF, FG merupakan sebuah garis berat dimana DE = 12 cm, EF = 8 cm, dan DF = 10 cm. Maka berapakah panjang FG ?

Penyelesaian :

FG² = 1/2 x 8² + 1/2 x 10² - 1/4 x 12²
       = 1/2 x 64 + 1/2 x 100 - 1/4 x 144
       = 32 + 50 - 36
       = 82 - 36
       = 46

FG   = √46 cm.

Garis Bagi Dalam

Garis bagi dalam merupakan sebuah garis yang ditarik dari salah satu titik pada segitiga dan berfungsi membagi dua buah sudut yang ada disebelah garis tersebut menjadi sama besar. Garis tersebut terletak di dalam segitiga :

Panjang garis bagi dalam bisa diketahui dengan menggunakan perhitungan rumus :

Garis Bagi Luar

Garis bagi luar pada segitiga merupakan sebuah garis yang ditarik dari salah satu sudut pada segitiga dan membagi dua buah sudut yang sama besar pada salah satu sisi segitiga dengan perpanjangan dari salah satu garis sisi yang lain. Garis tersebut terletak di bagian luar segitiga.

Panjang garis bagi luar bisa diketahui dengan menggunakan perhitungan rumus :

Garis Sumbu (perpendicular bisector)

Garis sumbu merupakan sebuah garis yang melintas pada titik tengah dari sebuah segitiga dan posisinya tegak lurus terhadap sisi tersebut. Apabila tiga buah garis sumbu ditarik dari setiap sisi segitiga maka mereka akan bertemu pada sebuah titik yang disebut dengan circumcenter. Apabila kita menggambar sebuah lingkaran dari titik sudut yang ada pada segitiga, maka circumcenter menjadi titik pusat dari lingkaran tersebut. Perhatikan gambar di bawah ini :

Demikianlah pembahasan materi mengenai Garis Istimewa pada Segitiga dan Rumus Cara Menghitungnya. Semoga kalian bisa memahami penjelasan di atas dengan mudah sehingga artikel ini bisa membantu kalian dalam menyelesaikan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Selamat belajar dan semoga bermanfaat!

Rangkuman Materi Rumus Matematika SMP Kelas 9 Semester Ganjil Lengkap

Matematika SMP - Belajar matematika smp kelas 9 pada semester ganjil masih membahas mengenai cara mencari volume dari sebuah bangun ruang. Pada dasarnya, konsep perhitungan volume bangun ruang sangatlah sederhana. Kebanyakan volume bangun ruang dihitung dengan cara mengalikan luas alas dengan tinggi dari bangun ruang tersebut. Konsep ini berlaku untuk semua bangun ruang terkecuali kerucut dan limas karena luas atap dan luas alasnya tidak memiliki kesamaan. Perhatikan baik - baik pembahasan mengenai rumus volume bangun ruang untuk siswa smp kelas 9 di bawah ini.

Rumus Volume Kubus

Dalam menentukan volume kubus sangatlah mudah karena seluruh sisi kubus memiliki luas dan ukuran yang sama. Jadi untuk mengetahui volume sebuah kubus cukup dengan menggunakan rumus sisi x sisi x sisi atau luas satu sisi kubus dipangkatkan 3.

Rumus Volume Balok

Dalam mencari volume balok terlebih dahulu kita harus mencari luas alasnya, setelah itu dikalikan dengan tinggi balok tersebut. Luas alas balok bisa dihitung dengan rumus panjang x lebar. Jadi, rumus untuk mencari volume kubus adalah panjang x lebar x tinggi (p x l x t).

Rumus Volume Limas Segi Empat

Jika kita sudah memahami konsep pencarian volume balok, maka akan lebih mudah untuk memahami rumus volume untuk limas segi empat. Karena pada dasarnya rumus volume limas segi empat adalah sepertiga dari rumus volume balok. Jadi, untuk mencari volume limas bisa menggunakan rumus 1/3 x panjang x lebar x tinggi (1/3 x p x l x t).

Rumus Volume Prisma Segitiga Siku - Siku

Untuk menentukan volume prisma caranya adalah dengan mengalikan luas alas segitiga (as) dengan tinggi segitiga (ts) lalu dikalikan dengan tinggi prisma (tp) baru setelah itu dibagi dua.
Maka rumus volume untuk prisma adalah : as x ts x tp / 2

Rumus Volume Tabung

Karena alas sebuah tabung berbentuk lingkaran maka untuk mencari luas alasnya harus menggunakan phi (π). Sedangkan untuk mencari volume tabung tersebut digunakan rumus : la x t = π x r x r x t.

Rumus Volume Kerucut

Rumus  volume kerucut hampir sama dengan rumus volume untuk tabung namun kita harus mengalikannya dengan satu per tiga : 1/3 x π x r x r x t.

Rumus Volume Bola

Sedangkan untuk bola, rumus volumenya bisa diturunkan dari rumus volume pada kerucut. Yaitu dengan mengalikan rumus volume kerucut dengan 4. Maka, rumus volume bola adalah : 4 x 1/3 x π x r x r x t

Karena tinggi bola sama dengan jari - jari bola, maka 4 x 1/3 x π x r x r x r.

Demikianlah pembahasan materi mengenai Rumus Matematika SMP Kelas 9 Semester Ganjil yang bisa disampaikan pada pertemuan kali ini. Semoga kalian bisa memahami apa yang telah dijelaskan di atas sehingga artikel ini bisa menambah wawasan kalian tentang bangun ruang. Selamat belajar!

Rangkuman Materi Rumus Matematika SMP : Bilangan Lengkap

Rumus Matematika - Dalam artikel kali ini akan dibahas materi mengenai bilangan. Bilangan itu sendiri merupakan sebuah ide yang memiliki sifat abstrak dan mampu memberi keterangan mengenai jumlah dari sebuah himpunan benda. Bilangan biasanya dinyatakan dalam bentuk angka. Dalam matematika terdapat banyak sekali bentuk bilangan. Berikut penjelasan mengenai bentuk - bentuk bilangan.

Bilangan Asli

Bilangan asli merupakan himpunan dari bilangan positif yang terdiri dari angka selain nol (0).
Contoh : {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,...}

Bilangan Cacah

Bilangan cacah merupakan himpunan dari bilangan bulat yang bersifat positif (bukan negatif) dan dimulai dari nol.
Contoh : {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...}

Bilangan Bulat

Bilangan bulat merupakan himpunan gabungan dari bilangan cacah {0,1,2,3,4,5,...} dan juga bentuk negatif dari bilangan tersebut {-1,-2,-3,-4,-5,...}. Karena -0 sama nilainya dengan 0 maka cukup menuliskan 0 saja di dalam himpunan bulat.

Jika a, b, dan c merupakan bilangan bulat, maka sifat penjumlahannya adalah :

Jika a, b, dan c merupakan bilangan bulat, maka sifat perkaliannya adalah :

Operasi penjumlahan dan perkalian dalam himpunan bilangan bulat memiliki sifat distributif yaitu :
A x (b+c) = a x b + a x c

Bilangan Prima

Bilangan prima merupakan himpunan bilangan asli yang hanya memiliki 2 buah faktor yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Kebalikan dari bilangan prima adalah bilangan komposit.

Contoh :
3 termasuk ke dalam bilangan prima karena 3 hanya memiliki 2 buah faktor (1 dan 3) artinya 3 hanya bisa dibagi dengan 1 dan 3 dan tidak menghasilkan pecahan. Berbeda dengan angka 8 , angka 8 tidak termasuk ke dalam bilangan prima karena ia memiliki lebih dari 2 faktor yaitu 1, 2, 3, 4, dan 8. 1 juga tidak termasuk ke dalam bilangan prima karena ia hanya memiliki satu buah faktor yaitu angka 1 itu sendiri.

20 bilangan prima pertama yaitu :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 61, 71, 73, .... (perlu diketahui, angka 2 merupakan satu - satunya bilangan prima yang bersifat genap).

Bilangan Riil

Bilangan riil merupakan kelompok bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 1,2435 atau 5,284721. Bilangan riil terdiri dari bilangan rasional dan irasional.

Bilangan rasional merupakan bilangan riil yang bisa dituliskan dalam bentuk a/b dengan a dan b adalah bilangan bulat dimana b≠0.
Contoh : 42 dan 123/129.

Bilangan irasional merupakan bilangan riil selain bilangan rasional, misalnya : π (2,3,4,...) dan √2

Bilangan Imajiner

Bilangan imajiner menyatakan bilangan selain bilangan riil, seperti √-1. √-1 biasanya disimbolkan dengan huruf "i" jadi √-3 = 3i.


Demikianlah pembahasan materi tentang Rumus Matematika SMP Mengenai Bilangan. Semoga kalian bisa memahami penjelasan dan contoh soal yang diberikan dengan mudah sehingga artikel ini bisa membantu kalian dalam menyelesaikan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini.

Rangkuman Materi Pengertian dan Rumus Cara Mencari Korespondensi Satu-Satu Pada Himpunan Matematika Lengkap

Pengertian dan Rumus Cara Mencari Korespondensi Satu-Satu - Sebelum mempelajari materi ini sebaiknya terlebih dahulu kalian pelajari materi mengenai Pengertian, Teori dan Konsep Himpunan Matematika. Di dalam materi pelajaran matematika mengenai himpunan, ada istilah yang disebut sebagai korespondensi satu - satu, apakah itu? misalkan saja absensi di dalam sebuah kelas. Setiap siswa di dalam daftar absensi tersebut pasti memiliki urutan dan memiliki nomornya sendiri - sendiri. Tidak akan mungkin ada siswa yang memiliki dua buah nomor urut di dalam absensi tersebut. Hal ini merupakan contoh sederhana dari korespondensi satu - satu.

Misalkan di dalam sebuah kelas terdapat 4 orang siswa, lalu guru memanggil mereka satu - persatu untuk maju ke depan kelas. Kelima siswa tersebut adalah Eka, Wahyu, Mira, dan Wahono. Kita bisa memisahkan himpunan siswa dengan nomor absennya menjadi seperti berikut ini : A = {Eka, Wahyu, Mira, Wahono} dan B = {1, 2, 3, 4} maka relasi dari kedua himpunan tersebut adalah "nomor absen". Sehingga relasi dari himpunan a ke himpunan b dapat digambarkan dengan menggunakan diagram panah berikut ini :

Coba kalian perhatikan baik - baik gambar diagram panah di atas. Kita bisa melihat bahwa tiap - tiap anggota yang ada di himpunan A berpasangan dengan tepat terhadap tiap - tiap anggota yang ada di dalam himpunan B. Maka dari itu, relasi "nomor absen" yang dihasilkan dari himpunan A ke himpunan B bisa disebut sebagai sebuah pemetaan. Pemetaan seperti pada contoh di atas disebut sebagai korespondensi satu - satu. Maka, korespondensi satu - satu bisa diartikan sebagai :

"Sebuah fungsi yang memetakan anggota suatu himpunan dengan himpunan yang lain, dimana setiap anggota yang ada pada suatu himpunan bisa dipasangkan dengan tepat pada tiap - tiap anggota yang lain begitu juga sebaliknya"

Maka, bisa disimpulkan bahwa syarat yang harus dipenuhi oleh suatu fungsi atau pemetaan untuk bisa disebut sebagai korespondensi satu - satu adalah jumlah anggota dari kedua himpunan harus sama banyaknya n(A) harus sama dengan n(B).
Lalu, bagaimanakah cara mencari korespondensi satu - satu yang mungkin ada di antara himpunan A dan B? Simak baik - baik penjelasan di bawah ini :

Cara Mencari Korespondensi Satu - Satu Pada Himpunan Matematika

Jika n(A) = n(B) = n maka banyaknya korespondensi satu - satu yang mungkin terjadi antara himpunan A dan B adalah :

n! = n x (n - 1) x (n - 2) x (n - 3) ... 4 x 3 x 2 x 1
n! = n faktorial

Itu merupakan rumus yang bisa digunakan dalam mencari korespondensi satu - satu di dalam himpunan matematika. Berikut ini ada beberapa contoh soal yang menerapkan rumus tersebut untuk menyelesaikan soal - soal seputar himpunan.

Contoh Soal :
Berapakah banyaknya korespondensi satu - satu yang bisa dibuat dari himpunan C = {huruf vokal} dan D = {bilangan prima yang kurang dari 13}?

Penyelesaian :
Diketahui :
C = {huruf vokal} = {a, i, u, e, o}
D = {bilangan prima yang kurang dari 13} = {2, 3, 5, 7, 11}

Karena n(C) = n(D) = 5 maka jumlah korespondensi satu - satu antara himpunan C dan D adalah :

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120


Demikianlah pembahasan materi mengenai Pengertian dan Rumus Cara Mencari Korespondensi Satu-Satu pada Himpunan Matematika yang bisa disampaikan pada pertemuan kali ini, semoga kalian bisa memahami materi dan contoh soal yang diberikan dengan baik sehingga kalian tidak akan kesulitan dalam menyelesaikan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Selamat belajar!

Rangkuman Materi Pengertian, Operasi, Rumus dan Sifat-sifat Bilangan Berpangkat Lengkap

Sifat - Sifat Bilangan Berpangkat - Dalam artikel kali ini akan disampaikan materi mengenai bilangan berpangkat beserta rumus - rumus yang berkaitan dengan bilangan berpangkat. Materi mengenai perpangkatan biasanya diajarkan pada pelajaran matematika untuk kelas X SMA. Dengan mempelajari materi ini diharapkan kalian bisa memahami operasi hitung yang berlaku pada bilangan berpangkat berdasarkan sifat - sifat dari bilangan tersebut. Dalam artikel ini juga kalian akan diajarkan untuk menjawab beberapa contoh soal dengan menggunakan rumus atau aturan - aturan yang berlaku untuk bilangan berpangkat. Untuk lebih jelasnya, perhatikan baik - baik pembahasan materi di bawah ini.

Pengertian Bilangan Berpangkat

Apabila sebuah bilangan real dilambangkan dengan huruf a kemudian bilangan bulat dilambangkan dengan huruf n, maka bilangan berpangkat dapat kita tuliskan menjadi aⁿ (a pangkat n) yang mana merupakan perkalian bilangan a secara berulang sebanyak n faktor. Bilangan berpangkat dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

Jenis - Jenis Bilangan Berpangkat

Terdapat beberapa jenis bilangan berpangkat yang dibedakan berdasarkan nilai atau jenis bilangan yang menempati posisi pangkat.

=> Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Bilangan ini merupakan hasil dari penyederhanaan sebuah perkalian bilangan yang memiliki faktor yang sama.

Contoh :
2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2⁵

maka 2 bisa diartikan sebagai perkalian 2 dengan 2 yang diulang sebanyak 5 kali. Oleh karenanya bilangan berpangkat secara umum dirumuskan sebagai berikut :

aⁿ = a x a x a x ........ x a (sebanyak n faktor)
a = bilangan pokok (dasar)
n = pangkat (eksponen)

Contoh :
a⁸ = a x a x a x a x a x a x a x a
6⁸ =  6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6
     = 1679616

=> Bilangan Berpangkat Bulat Negatif

Bilangan berpangkat bulat negatif terjadi apabila di dalam operasi hitung pembagian bilangan berpangkat nilai atau angka pangkat pembagi lebih besar dari pada nilai pangkat yang dibagi.

Contoh :

=> Bilangan Berpangkat Nol

Amatilah bilangan berpangkat nol berikut ini :

Sifat - Sifat Bilangan Berpangkat

Di dalam operasi hitung bilangan berpangkat, ada beberapa sifat yang biasa dijadikan aturan dasar dalam menyelesaikan persoalan - persoalan yang menggunakan bilangan berpangkat.
Berikut merupakan sifat - sifat bilangan berpangkat :

Contoh Soal dan Pembahasan Bilangan Berpangkat

Di bawah ini ada beberapa contoh soal tentang bilangan berpangkat yang bisa kalian pelajari untuk memperdalam pengetahuan mengenai materi yang telah disampaikan di atas :

Demikianlah pembahasan materi mengenai Pengertian, Operasi, Rumus dan Sifat-sifat Bilangan Berpangkat. Semoga kalian bisa memahami penjelasan dan pembahasan contoh soal yang diberikan dalam artikel ini dengan mudah sehingga kalian tidak akan mengalami kesulitan dalam mengerjakan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Semoga bermanfaat dan selamat belajar!

Rangkuman Materi Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang Lengkap

Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang - Dalam artikel kali ini akan dijelaskan beberapa kemungkinan yang terjadi untuk kedudukan titik terhadap titik, garis, ataupun bidang. Agar kalian bisa memahami materi ini, perhatikan baik - baik penjelasan di bawah ini.

Jarak Titik ke Titik Yang Lain

Coba kalian amati gambar berikut ini :

Dalam gambar di atas terdapat dua buah titik, yaitu titik A dan titik B. Jarak kedua titik tersebut bisa ditentukan dengan cara menghubungkan titik A dan titik B dengan menggunakan sebuah garis. Panjang garis itulah yang menentukan jarak kedua titik tersebut. Sehingga, jarak dari titik A dengan titik B merupakan panjang ruas garis yang menghubungkan keduanya.

Perhatikan baik - baik contoh soal berikut ini :
Contoh Soal 1 :

Jika diketahui panjang rusuk pada kubus di atas adalah 6 cm dan titik X adalah pertengahan antara rusuk AB. Maka hitunglah jarak :
a. Titik H ke titik A
b. Titik H ke titik X
c. Titik H ke titik B
d. Titik E ke titik X

Penyelesaiannya :

a. Titik H ke titik A adalah panjang garis AH. Garis AH merupakan panjang diagonal sisi pada kubus tersebut, maka kita bisa menggunakan teorema phytagoras berikut ini :

A = √(EH² + AE²)
   = √(6² + 6²)
   = √(36 + 36)
   = √72
   = 6√2


b. Jarak titik H ke titik X adalah panjang garis HX. Panjang AX sama dengan setengah dari panjang rusuk AB, maka :

AX = 1/2 AB = 1/2 x 6 cm = 3 cm

dengan mengunakan teorema phytagoras :

HX = √(AH² + AX²)
      = √((6√2)2 + 3²)
      = √(72 + 9)
      = √81
      = 9 cm


c.  Jarak titik H ke titik B adalah panjang garis BH. Garis BH merupakan panjang diagonal ruang pada kubus tersebut, oleh karenanya kita bisa menggunakan teorema phytagoras :

BH = √(AH + AB)
      = √((6√²)2 + 6²)
      = √(72 + 36)
      = √108
      = 6√3 cm


d. Jarak titik E ke titik X adalah panjang garis EAX. Panjang AX sama dengan setengah dari panjang rusuk AB, maka :

AX = 1/2 AB = 1/2 x 6 cm = 3 cm

Dengan menggunakan teorema phytagoras :

EX = √(AE² + AX²)
      = √(6² + 3²)
      = √(36 + 9)
      = √45
      = 3√5 cm

Jarak Titik ke Garis

Perhatikan baik - baik gambar di bawah ini :

Pada ambar di atas terdapat titik A dan garis g. Jarak antara titik A denan garis  diperoleh dengan menarik garis dari titik A ke garis , garis tersebut berhenti di titik P sehingga terciptalah garis AP yang tegak lurus terhadap garis g. Jarak dari titik A ke garis g merupakan panjang dari garris AP. Sehingga, jarak antara titik dengan garis adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut secara tegak lurus terhadap garis tersebut.

Perhatikan contoh soal di bawah ini :

Contoh Soal 2 :
Perhatikan gambar berikut :

Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 6 cm dan titik X merupakan pertengahan diantara rusuk AB, maka hitunglah :
a. Jarak titik X ke garis DE
b. Jarak titik X ke garis CE

Penyelesaiannya :
Terlebih dahulu kita buatkan gambar seperti ini :

a. Jarak titik X ke garis DE adalah panjang garis dari titik X ke titik M yang posisinya tegak lurus terhadap garis DE, seperti pada gambar berikut ini :

DE = AH dan ME = 1/2 DE = 1/2 AH = 1/2 6√2 = 3√2
Dengan menggunakan teorema phytagoras :
MX = √(EX² - ME²)
       = √((3√5)²  - (3√2)²)
       = √(45 - 18)
       = √27
       = 3√3


b. Jarak titik X ke garis CE adalah panjang garis dari titik X ke titik N yang posisinya tegak lurus terhadap garis CE, seperti pada gambar berikut ini :

CE = BH dan NE = 1/2 C = 1/2 BH = 1/2 6√3 = 3√3
Dengan menggunakan teorema phytagoras :
NX = √(EX² - NE)²
      = √((3√5)² - (3√3)²)
      = √(45 - 27)
      = √18
      = 3√2

Jarak Titik ke Bidang

Perhatikan baik - baik gambar di bawah ini :

Di dalam gambar di atas terdapat sebuah titik A dan bidang α. Jarak dari titik A ke bidang α bisa diketahui dengan cara menghubungkan titik A secara tegak lurus dengan bidang α. Sehingga, jarak dari suatu titik ke suatu bidang merupakan jarak dari titik tersebut ke proyeksinya pada bidang itu.

Perhatikan baik - baik contoh soal berikut ini :

Contoh Soal 3 :
Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini :

Jika diketahui panjang rusuk kubus di atas adalah 6 cm dan titik X adalah pertengahan antara rusuk AB. Maka hitunglah jarak dari titik X ke bidang CDEF!

Penyelesaiannya :
Buatlah gambar seperti di bawah ini :

Jarak titik X ke bidang CDEF adalah panjang garis dari titik X ke titik Z yang tegak lurus terhadap bidang CDEF.

XZ = 1/2 AH = 1/2 6√2 = 3√2 cm.


Demikianlah pembahasan materi mengenai Cara Menghitung Jarak Titik ke Titik, Garis, dan Bidang. Semoga kalian bisa memahami penjelasan dan contoh soal yang diberikan dengan baik sehingga kalian tidak akan kesulitan lagi dalam menyelesaikan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Selamat belajar!