Penjelasan Rumus Teorema Pythagoras Pada Bangun Datar, Contoh Soal dan Pembahasannya

Rumus Teorema Pythagoras Pada Bangun Datar - Bangun datar merupakan bangun dua dimensi dimana hanya terdapat sisi panjang dan lebar dan dibatasi oleh garis lengkung dan garis lurus. Seperti yang kita ketahui, bangun datar terdiri dari delapan jenis yaitu persegi, persegi panjang, jajar genjang, trapesium, segitiga, layang - layang, belah ketupat, dan yang terakhir adalha lingkaran. Masing - masing dari bangun datar tersebut memiliki rumus luas dan keliling yang berbeda dan terkadang disaat kita menghitung rumus - rumus tersebut dibutuhkan perhitungan yang menggunakan rumus teorema Pythagoras.

Penggunaan Rumus Teorema Pythagoras pada Bangun Datar

Mencari diagonal bidang pada persegi dan persegi panjang

Dalam menentukan bidang diagonal pada persegi panjang, kalian bisa menggunakan rumus teorema pythagoras jika kalian telah mengetahui panjang dan lebarnya. Sementara rumus pythagoras bisa digunakan dalam mencari bidang diagonal pada persegi panjang jika panjang sisinya sudah diketahui. Untuk lebih jelasnya, perhatikan baik - baik contoh soal berikut ini :

Contoh Soal 1 :

Panjang dan lebar sebuah persegi panjang berturut - turut adalah 20 cm dan 15 cm. Maka tentukanlah panjang salah satu diagonal pada persegi panjang tersebut!

Penyelesaian :

Diagonal = √(panjang² + lebar²)
                = √(20² + 15²)
                = √400+ 225

                = √625

                = 25 cm


Mencari diagonal layang - layang dan belah ketupat

Rumus Pythagoras bisa digunakan untuk mencari salah satu diagonal pada layang - layng dan belah ketupat jika panjang sisi dan salah satu diagonal sisinya sudah diketahui. Perhatikan baik - baik kedua contoh soal di bawah ini :

Contoh Soal 2 :

Tentukanlah luas dari bangun layang - layang berikut ini :

Penyelesaian :
Karena diagonal EG dan FH berpotongan di titik M, maka terlebih dahulu kita mencari panjang EM :

EM = ½ x EG
       = ½ x 16
       = 8 cm

Setelah itu, gunakan teorema pythagoras untuk mengetahui panjang FM dan HM :

FM = √(EF² - EM²)
       = √(15² - 8²)
       = √(225 - 64)
       = √161
       = 12,6 cm

HM = √(EH² - EM²)
        = √(20² - 8²)
        = √(400 - 64)
        = √336
        = 18,3 cm

Panjang diagonal FH adalah :

FH = FM + HM
      = 12,6 + 18,3
      = 30,9 cm


Sekarang kita cari luas dari layang - layang tersebut :
L = ½ x d1 x d2
   = ½ x EG x FH
   = ½ x 16 x 30,9
   = ½ x 494,4
   = 247,2 cm²


Contoh Soal 3 :

Perhatikan baik - baik gambar belah ketupat di bawah ini :

Jika diketahui panjang sisi belah ketupat PQRS adalah 15 cm dan panjang salah satu diagobalnya adalah 24 cm. Maka berapakah luas dari belah ketupat tersebut?

Penyelesaian :
Jika perpotongan diagonal PR dan QS pada belah ketupat itu ada pada titik X, maka :
PX = ½ x PR
      = ½ x 24
      = 12 cm

Sekarang kita gunakan rumus pythagoras untuk mengetahui panjang QX :
QX = √(PQ² - PX²)
       = √(15² - 12²)
       = √(225 - 144)
       = √81
       = 9 cm

QS = 2 x QX
      = 2 x 9
      = 18 cm

Sekarang tinggal menghitung luas belah ketupat tersebut :
L = ½ x d1 x d2
   = ½ x 24 x 18
   = ½ x 432
   = 216 cm²



Mencari Tinggi Trapesium dan Jajar Genjang

Untuk mengetahui bagaimana cara menggunakan rumus teorema pythagoras dalam mencari tinggi dari bangun datar trapesium ataupun jajar genjang, kalian bisa menyimak pembahasan contoh soal di bawah ini :

Contoh Soal 4 :
Perhatikan gambar trapesium berikut ini :

Jika diketahui panjang sisi PR = 40 cm, RS = 40 cm, dan PQ = 64 cm. Berapakah luas trapesium tersebut?

Penyelesaian :
Kita bisa melihat bahwa trapesium di atas merupakan trapesium sama kaki, maka kita bisa mengetahui panjang PR = QS, panjang PT = UQ dan panjang RS = TU, sehingga :

Panjang PT = PQ - TU - UQ
                    = 64 cm - 40 cm - UQ

Karena UQ = PT, maka :

2 x PT = 24 cm
PT = 24 / 12 cm
      = 12 cm

Sekarang kita bisa mencari tinggi trapesium dengan menggunakan teorema pythagoras sebagai berikut :

RT = √(PR² - PT²)
      = √(40² - 12²)
      = √(1600 - 144)
      = √1456
      = 38,15 cm

Sekarang kita bisa mencari luas trapesium dengan rumus berikut :

L = ½ x jumlah sisi sejajar x tinggi
    = ½ x (PQ + RS) x RT
    = ½ x (64 cm + 40 cm) x 38,15 cm
    = ½ x 3967,6
    = 1983,8 cm


Contoh Soal 5 :
Hitunglah luas jajar genjang di bawah ini :

Penyelesaian :
Langkah pertama kita tentukan dulu panjang PT :
PQ = RS
PT + TQ = RS
PT = RS - TQ
      = 30 - 25
      = 5 cm

Kemudian kita mencari tinggi dari jajar genjang tersebut :
ST = √(PS² - PT²)
      = √(23² - 5²)
      = √(529 25)
      = √504
      = 22,4 cm

Barulah kita bisa mencari luas dari jajar genjang tersebut :
L = a xt
    = PQ x ST
    = 30 cm x 22,4 cm
    = 673,4 cm²

baca juga Soal Dan Pembahasan Barisan dan Deret Geometri

Contoh Soal Dan Pembahasan Penerapan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dalam Soal Cerita

Penerapan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dalam Soal Cerita

Contoh Soal 1 :
Dalam sebuah pertunjukkan seni terjual 500 lembar karcis yang terdiri dari karcis kelas ekonomi dan karcis kelas utama. harga karci untuk kelas ekonomi adalah Rp. 6000,00 dan untuk kelas utama yaitu Rp. 8000,00. Jika hasil penjualan dari seluruh karcis yang terkumpul  berjumlah Rp. 3.360.000,00. Berapakah jumlah karcis kelas ekonomi yang terjual ?

Penyelesaiannya :
Misalkan jumlah karcis kelas ekonomi = a
                jumlah karcis kelas utama = b

Maka :
a + b = 500 ... (1)
6000a + 8000b = 3.360.000a 6a + 8b = 3.360 ... (2)

Eliminasi b
a + b = 500          | x8
6a + 8b = 3.360  | x1

8a + 8b = 4000
6a + 8b = 3.360 -
        2a = 640
          a = 320

Jadi, banyaknya karcis kelas ekonomi yang terjual adalah 320 karcis.



Contoh Soal 2 :
Heru dan Heryu bekerja disebuah pabrik sendal. Heru mampu menyelesaikan 3 buah pasang sendal setiap jam dan Heryu mampu menyelesaikan 4 buah pasang sendal setiap jam. Jumlah kerja Heru dan Heryu adalah 16 jam sehari, dengan jumlah sendal yang dibuat oleh keduanya adalah 55 pasang sendal. Jika jam kerja keduanya berbeda tentukan jam kerja mereka masing - masing!

Penyelesaian :
Misalkan jam kerja Heru = a
                jam kerja Heryu = b

Maka :
3a + 4b = 55 | x1
a  + b = 16    | x3

3a + 4b = 55
3a + 3b = 48 -
          b = 7
a = 16 - 7 = 9

Jadi, Heru bekerja selama 9 jam dan Heryu bekerja selama 7 jam dalam sehari.



Contoh Soal 3 :
Jumlah dua bilangan adalah 200. Dan selisih bilangan itu adalah 108. Tentukan bilangan yang paling besar diantara keduanya!

Penyelesaian :
Misalkan bilangan yang terbesar a dan yang terkecil adalah b

Maka :
a + b = 200
a - b = 108 +
   2a = 308
     a = 154

Jadi, bilangan yang terbesar adalah 154.



Contoh Soal 4 :
Dody membeli 4 buku dan 5 pensil seharga Rp. 24.000,00. Ecy membeli 6 buku dan 2 pensil seharga Rp. 27.200,00. Jika Ryan ingin membeli 3 buku  dan 2 pensil berapa yang harus dibayar oleh Ryan?

Penyelesaian:
Misalkan buku = b dan pensil = p
4b + 5p = 24.000 | x2
6b + 2p = 27.200 | x5

8b   + 10p =  48.000
30b + 10p = 136.000 -
         -22b = 88.000
              b = 4000

4b + 5p = 24.000
4(4000) + 5p = 24.000
                 5p = 24.000 - 16.000
                      = 8000
                   p = 8000 : 5
                      = 1600

3b (buku) + 2p (pensil) = Rp. ...?

Jawab :
3b + 2p = 3(4000) + 2(1600)
              = 12.000 + 3.200
              = 15.200

Jadi, Ryan harus membayar Rp. 15.200,00



Contoh Soal 5 :
Sebuah toko menjual dua jenis tepung sebanyak 50 kg. Tepung jenis I seharga Rp. 6000,00 dan tepung jenis II seharga Rp. 6.200,00. Seluruh tepung habis terjual dan pedagang mendapatkan uang sebanyak Rp. 306.000,00. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut !

Penyelesaian :
Misalkan berat tepung jenis I = x dan tepung jenis II = y

Maka :
x + y = 50 kg
6000x + 6200y = 306.000 à 60x + 62y = 3.060

Jadi, persamaannya adalah x + y = 50 dan 60x + 62y = 3.060

baca juga Menyelesaikan SPLDV Dengan Metode Grafik

Rangkuman Materi Contoh Penerapan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dalam Soal Cerita Lengkap

Contoh Soal Cerita SPLDV - Dalam artikel sebelumnya telah disampaikan pembasan materi mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Materi kali ini akan membahas mengenai penerapan SPLDV dalam penyelesaian soal cerita.

Penerapan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dalam Soal Cerita

Contoh Soal 1 :
Dalam sebuah pertunjukkan seni terjual 500 lembar karcis yang terdiri dari karcis kelas ekonomi dan karcis kelas utama. harga karci untuk kelas ekonomi adalah Rp. 6000,00 dan untuk kelas utama yaitu Rp. 8000,00. Jika hasil penjualan dari seluruh karcis yang terkumpul  berjumlah Rp. 3.360.000,00. Berapakah jumlah karcis kelas ekonomi yang terjual ?

Penyelesaiannya :
Misalkan jumlah karcis kelas ekonomi = a
                jumlah karcis kelas utama = b

Maka :
a + b = 500 ... (1)
6000a + 8000b = 3.360.000a 6a + 8b = 3.360 ... (2)

Eliminasi b
a + b = 500          | x8
6a + 8b = 3.360  | x1

8a + 8b = 4000
6a + 8b = 3.360 -
        2a = 640
          a = 320

Jadi, banyaknya karcis kelas ekonomi yang terjual adalah 320 karcis.



Contoh Soal 2 :
Heru dan Heryu bekerja disebuah pabrik sendal. Heru mampu menyelesaikan 3 buah pasang sendal setiap jam dan Heryu mampu menyelesaikan 4 buah pasang sendal setiap jam. Jumlah kerja Heru dan Heryu adalah 16 jam sehari, dengan jumlah sendal yang dibuat oleh keduanya adalah 55 pasang sendal. Jika jam kerja keduanya berbeda tentukan jam kerja mereka masing - masing!

Penyelesaian :
Misalkan jam kerja Heru = a
                jam kerja Heryu = b

Maka :
3a + 4b = 55 | x1
a  + b = 16    | x3

3a + 4b = 55
3a + 3b = 48 -
          b = 7
a = 16 - 7 = 9

Jadi, Heru bekerja selama 9 jam dan Heryu bekerja selama 7 jam dalam sehari.



Contoh Soal 3 :
Jumlah dua bilangan adalah 200. Dan selisih bilangan itu adalah 108. Tentukan bilangan yang paling besar diantara keduanya!

Penyelesaian :
Misalkan bilangan yang terbesar a dan yang terkecil adalah b

Maka :
a + b = 200
a - b = 108 +
   2a = 308
     a = 154

Jadi, bilangan yang terbesar adalah 154.



Contoh Soal 4 :
Dody membeli 4 buku dan 5 pensil seharga Rp. 24.000,00. Ecy membeli 6 buku dan 2 pensil seharga Rp. 27.200,00. Jika Ryan ingin membeli 3 buku  dan 2 pensil berapa yang harus dibayar oleh Ryan?

Penyelesaian:
Misalkan buku = b dan pensil = p
4b + 5p = 24.000 | x2
6b + 2p = 27.200 | x5

8b   + 10p =  48.000
30b + 10p = 136.000 -
         -22b = 88.000
              b = 4000

4b + 5p = 24.000
4(4000) + 5p = 24.000
                 5p = 24.000 - 16.000
                      = 8000
                   p = 8000 : 5
                      = 1600

3b (buku) + 2p (pensil) = Rp. ...?

Jawab :
3b + 2p = 3(4000) + 2(1600)
              = 12.000 + 3.200
              = 15.200

Jadi, Ryan harus membayar Rp. 15.200,00



Contoh Soal 5 :
Sebuah toko menjual dua jenis tepung sebanyak 50 kg. Tepung jenis I seharga Rp. 6000,00 dan tepung jenis II seharga Rp. 6.200,00. Seluruh tepung habis terjual dan pedagang mendapatkan uang sebanyak Rp. 306.000,00. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut !

Penyelesaian :
Misalkan berat tepung jenis I = x dan tepung jenis II = y

Maka :
x + y = 50 kg
6000x + 6200y = 306.000 à 60x + 62y = 3.060

Jadi, persamaannya adalah x + y = 50 dan 60x + 62y = 3.060

Pembahasan dan soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Contoh Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan Pembahasannya

Contoh Soal 1 :
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan menggunakan metode substitusi :
x + y = 8
2x + 3y = 19

Penyelesaian :
x + y = 8 ... (1)
2x + 3y = 19 ... (2)
x + y = 8
x = 8 - y

Substitusikan x = y - 8 ke dalam persamaan 2

2 (8 - y) + 3y = 19
16 - 2y + 3y = 19
16 + y = 19
y = 3

Substitusikan y = 3 ke dalam persamaan 1

x + 3 = 8
x = 5

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 5 dan y = 3


Contoh Soal 2 :
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut ini dengan menggunakan metode eliminasi :
2x - y = 7
x + 2y = 1

Penyelesaian :

Eliminasi x
2x - y = 7 | x1 => 2x - y = 7 ... (3)
x + 2y = 1 | x2 => 2x - 4y = 2 ... (4)

2x - y = 7
x + 2y = 1 -
     -5y = 5
y = -1

Eliminasi y
2x - y = 7 | x2 => 4x - 2y = 14 ... (5)
x + 2y = 1 | x1 => x + 2y = 1 ... (6)

4x - 2y = 14
  x - 2y = 1 -
       5x = 15
         x = 3

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 3 dan y = -1



Contoh Soal 3 :
Tentukan penyelesaian dari SPLDV di bawah ini dengan menggunakan metode campuran :
x + y = -5
x - 2y = 5

Penyelesaian :

Eliminasi x
x + y = -5
x - 2y = 5 -
     3y = -9
       y = -3

Substitusi y
x + (-3) = -5
x = -2

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = -2 dan y = -3



Contoh Soal 4 :
Umur Shinta 7 tahun lebih muda dari umur Cory. Jumlah umur mereka adalah 43 tahun. Tentukanlah masing - masing umur mereka!

Penyelesaian :
Misalkan umur Shinta = x
                 umur Cory = y
Maka :
y - x = 7 ... (1)
y + x = 43 ... (2)

y = 7 + x

Substitusikan y = 7 + x ke dalam persamaan 2

7 + x + x = 43
7 + 2x = 43
2x = 36
x = 18
y = 7 + 18 = 25

Jadi, umur Shinta adalah 18 tahun dan umur Cory 25 tahun.


Contoh Soal 5 :
Sebuah halaman rumah memiliki ukuran panjang 8 meter lebih panjang dari lebarnya. Keliling halaman tersebut adalah 44 meter. Tentukan luas halaman tersebut!

Penyelesaian :
Luas halaman = p x l
P = Panjang halaman
L = Lebar halaman

Model matematika :
P = 8 + l
k = 2p + 2l
2 (8 + l) + 2l = 44
16 + 2l + 2l = 44
16 + 4l = 44
4l = 28
l = 7

P = 7 + 8 = 15
Luas = 7 x 15 = 105 m2

Jadi, luas halaman rumah tersebut adalah 105 m2
baca juga Matematika SMP Kelas VII Aritmetika Sosial BUNGA TABUNGAN DAN PAJAK

Rangkuman Materi Contoh Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Lengkap

Contoh Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel - Dalam artikel sebelumnya Belajar Matematikaku telah menjelaskan materi mengenai Penjelasan Metode Substitusi dan Eliminasi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Jika kalian sudah mempelajari materi tersebut dengan baik maka kalian akan lebih mudah untuk memahami materi yang akan disampaikan dalam pembahasan kali ini.

Contoh Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan Pembahasannya

Contoh Soal 1 :
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan menggunakan metode substitusi :
x + y = 8
2x + 3y = 19

Penyelesaian :
x + y = 8 ... (1)
2x + 3y = 19 ... (2)
x + y = 8
x = 8 - y

Substitusikan x = y - 8 ke dalam persamaan 2

2 (8 - y) + 3y = 19
16 - 2y + 3y = 19
16 + y = 19
y = 3

Substitusikan y = 3 ke dalam persamaan 1

x + 3 = 8
x = 5

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 5 dan y = 3


Contoh Soal 2 :
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut ini dengan menggunakan metode eliminasi :
2x - y = 7
x + 2y = 1

Penyelesaian :

Eliminasi x
2x - y = 7 | x1 => 2x - y = 7 ... (3)
x + 2y = 1 | x2 => 2x - 4y = 2 ... (4)

2x - y = 7
x + 2y = 1 -
     -5y = 5
y = -1

Eliminasi y
2x - y = 7 | x2 => 4x - 2y = 14 ... (5)
x + 2y = 1 | x1 => x + 2y = 1 ... (6)

4x - 2y = 14
  x - 2y = 1 -
       5x = 15
         x = 3

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 3 dan y = -1



Contoh Soal 3 :
Tentukan penyelesaian dari SPLDV di bawah ini dengan menggunakan metode campuran :
x + y = -5
x - 2y = 5

Penyelesaian :

Eliminasi x
x + y = -5
x - 2y = 5 -
     3y = -9
       y = -3

Substitusi y
x + (-3) = -5
x = -2

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = -2 dan y = -3



Contoh Soal 4 :
Umur Shinta 7 tahun lebih muda dari umur Cory. Jumlah umur mereka adalah 43 tahun. Tentukanlah masing - masing umur mereka!

Penyelesaian :
Misalkan umur Shinta = x
                 umur Cory = y
Maka :
y - x = 7 ... (1)
y + x = 43 ... (2)

y = 7 + x

Substitusikan y = 7 + x ke dalam persamaan 2

7 + x + x = 43
7 + 2x = 43
2x = 36
x = 18
y = 7 + 18 = 25

Jadi, umur Shinta adalah 18 tahun dan umur Cory 25 tahun.


Contoh Soal 5 :
Sebuah halaman rumah memiliki ukuran panjang 8 meter lebih panjang dari lebarnya. Keliling halaman tersebut adalah 44 meter. Tentukan luas halaman tersebut!

Penyelesaian :
Luas halaman = p x l
P = Panjang halaman
L = Lebar halaman

Model matematika :
P = 8 + l
k = 2p + 2l
2 (8 + l) + 2l = 44
16 + 2l + 2l = 44
16 + 4l = 44
4l = 28
l = 7

P = 7 + 8 = 15
Luas = 7 x 15 = 105 m2

Jadi, luas halaman rumah tersebut adalah 105 m2


Demikianlah pembahasan materi mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Semoga kalian bisa memahami pembahasan dan contoh - contoh soal yang telah diberikan dengan mudah sehingga kalain tidak akan mengalami kesulitan dalam menyelesaiakan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Selamat belajar!

Pengertian Fungsi dan Macam-macam Fungsi dalam Matematika

Relasi dan fungsi memiliki hubungan yang erat karena masih membahas mengenai hubungan antar himpunan. Ada banyak contoh yang bisa menggambarkan sebuah relasi antara satu himpunan dengan himpunan yang lainnya seperti bisa kalian lihat pada gambar berikut ini :

Gambar di atas menunjukkan relasi antara sebuah negara dengan ibukotanya. Pada diagram tersebut kita bisa melihat bahwa tiap - tiap anggota pada himpunan A memiliki pasangan yang tepat pada masing - masing anggota himpunan B. Contoh lain dari relasi bisa kalian lihat pada diagram panah berikut ini :

Sama halnya dengan diagram panah yang pertama, pada diagram panah ini masing - masing anggota pada himpunan P memiliki pasangan yang tepat pada tiap anggota himpunan Q. Konsep relasi antara kedua himpunan (A dan B) serta (P dan Q) dikenal dengan sebutan Fungsi atau Pemetaan. Artinya kedua diagram tersebut bisa disebut dengan fungsi A ke B atau fungsi P ke Q.

Berdasarkan contoh di atas disimpulkan bahwa definisi dari fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan tiap - tiap anggota yang ada pada suatu himpunan tepaat dengan tiap  - tiap anggota yang ada pada himpunan lainnya.

Pengertian dan Macam - Macam Fungsi dalam Matematika

Ketika berbicara mengenai fungsi, maka kita harus mulai terbiasa dengan beberapa istilah yang digunakan di dalamnya, diantaranya yaitu :

Domain = daerah asal
Kodomain = daerah lawan
Range = daerah hasil

Agar kalian bisa memahami istilah - istilah di atas, perhatikan baik - baik contoh soal berikut ini :

Contoh Soal :
Sebuah fungsi f dari himpunan F dan G dinyatakan dalam aturan x + 3, x F. Jika diketahui bahwa F = {2, 3, 5, 7} dan G = {1, 2, 3, ..., 12}, maka tentukanlah :

a. Himpunan pasangan berurutan dalam f
b. Domain, kodomain, dan range dari f

Penyelesaian :
a. f : x => x + 3
x = 2 => f(x) = 2 + 3 = 5
x = 3 => f(x) = 3 + 3 = 6

x = 5 => f(x) = 5 + 3 = 8

x = 7 => f(x) = 7 + 3 = 10

Maka himpunan pasangan berurutannya adalah (x(f(x)) = {(2,5), (3,6), (5,8), (7,10)}

b. Domain (daerah asal) = {2, 3, 5, 7}
    Kodomain (daerah lawan) = {1, 2, 3, ..., 12}
    Range (daerah hasil) = {5, 6, 8, 10}

Penyajian Fungsi

Karena fungsi merupakan bentuk dari relasi, maka cara menyajikannya sama saja dengan cara penyajian relasi. Fungsi bisa disajikan dalam bentuk diagram panah, diagram kartesius, dan juga himpunan pasangan berurut.

Cara Menentukan Banyaknya Pemetaan atau Fungsi

Banyaknya pemetaan yang terbentuk dari dua buah himpunan bisa dicari dengan menggunakan rumus yang ada pada tabel berikut ini :

baca juga Matematika SMP Aritmetika Sosial RABAT, BRUTO, TARA, NETO, BUNGA

Rangkuman Materi Pengertian Fungsi dan Macam-macam Fungsi dalam Matematika Lengkap

Dalam artikel sebelumnya telah dijelaskan materi mengenai Pengertian Relasi beserta cara penyajiannya, kali ini  akan membahas materi mengenai Pengertian Fungsi dan Macam-macam Fungsi dalam Matematika. Relasi dan fungsi memiliki hubungan yang erat karena masih membahas mengenai hubungan antar himpunan. Ada banyak contoh yang bisa menggambarkan sebuah relasi antara satu himpunan dengan himpunan yang lainnya seperti bisa kalian lihat pada gambar berikut ini :

Gambar di atas menunjukkan relasi antara sebuah negara dengan ibukotanya. Pada diagram tersebut kita bisa melihat bahwa tiap - tiap anggota pada himpunan A memiliki pasangan yang tepat pada masing - masing anggota himpunan B. Contoh lain dari relasi bisa kalian lihat pada diagram panah berikut ini :

Sama halnya dengan diagram panah yang pertama, pada diagram panah ini masing - masing anggota pada himpunan P memiliki pasangan yang tepat pada tiap anggota himpunan Q. Konsep relasi antara kedua himpunan (A dan B) serta (P dan Q) dikenal dengan sebutan Fungsi atau Pemetaan. Artinya kedua diagram tersebut bisa disebut dengan fungsi A ke B atau fungsi P ke Q.

Berdasarkan contoh di atas disimpulkan bahwa definisi dari fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan tiap - tiap anggota yang ada pada suatu himpunan tepaat dengan tiap  - tiap anggota yang ada pada himpunan lainnya.

Pengertian dan Macam - Macam Fungsi dalam Matematika

Ketika berbicara mengenai fungsi, maka kita harus mulai terbiasa dengan beberapa istilah yang digunakan di dalamnya, diantaranya yaitu :

Domain = daerah asal
Kodomain = daerah lawan
Range = daerah hasil

Agar kalian bisa memahami istilah - istilah di atas, perhatikan baik - baik contoh soal berikut ini :

Contoh Soal :
Sebuah fungsi f dari himpunan F dan G dinyatakan dalam aturan x + 3, x F. Jika diketahui bahwa F = {2, 3, 5, 7} dan G = {1, 2, 3, ..., 12}, maka tentukanlah :

a. Himpunan pasangan berurutan dalam f
b. Domain, kodomain, dan range dari f

Penyelesaian :
a. f : x => x + 3
x = 2 => f(x) = 2 + 3 = 5
x = 3 => f(x) = 3 + 3 = 6

x = 5 => f(x) = 5 + 3 = 8

x = 7 => f(x) = 7 + 3 = 10

Maka himpunan pasangan berurutannya adalah (x(f(x)) = {(2,5), (3,6), (5,8), (7,10)}

b. Domain (daerah asal) = {2, 3, 5, 7}
    Kodomain (daerah lawan) = {1, 2, 3, ..., 12}
    Range (daerah hasil) = {5, 6, 8, 10}

Penyajian Fungsi

Karena fungsi merupakan bentuk dari relasi, maka cara menyajikannya sama saja dengan cara penyajian relasi. Fungsi bisa disajikan dalam bentuk diagram panah, diagram kartesius, dan juga himpunan pasangan berurut.

Cara Menentukan Banyaknya Pemetaan atau Fungsi

Banyaknya pemetaan yang terbentuk dari dua buah himpunan bisa dicari dengan menggunakan rumus yang ada pada tabel berikut ini :

Demikianlah pembahasan materi mengenai Pengertian Fungsi dan Macam-macam Fungsi dalam Matematika. Semoga kalian bisa memahami penjelasan di atas dengan mudah sehingga artikel ini bisa membantu kalian dalam mengerjakan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Selamat belajar!

Rangkuman Materi Penjelasan Perbedaan Permutasi dan Kombinasi Matematika, Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap Lengkap

Permutasi dan Kombinasi Matematika - Materi permutasi dan kombinasi matematika berkaitan dengan materi peluang yang bisa kalian akses pada artikel yang membahas tentang Pengertian dan Rumus Peluang Matematika.

Pengertian Permutasi dan Kombinasi Matematika

Permutasi

Dalam ilmu matematika permutasi diartikan sebagai sebuah konsep penyusunan sekumpulan objek/angka menjadi beberapa urutan berbeda tanpa mengalami pengulangan.

Di dalam permutasi, urutan sangat diperhatikan. Setiap objek yang dihasilkan harus berbeda antara satu dengan yang lain. Sebagai contoh, urutan huruf {ABC} berbeda dengan {CAB} begitu juga dengan {BAC} dan {ACB}.
Rumus untuk mencari banyaknya permutasi n unsur jika disusun pada unsur k dimana k n adalah :

Rumus Permutasi

P(n,k) =  n!  
            (n-k)!

Untuk memahami rumus tersebut, perhatikan pembahasan soal berikut ini :

Contoh Soal 1 :
Disebuah kelas terdapat 4 orang siswa yang dicalonkan untuk mengisi posisi bendahara dan sekretaris. Tentukan banyaknya cara yang bisa digunakan untuk mengisi posisi tersebut!

Penyelesaian :
Soal di atas bisa dituliskan sebagai permutasi P(4,2), n(banyaknya guru) = 4 k (jumlah posisi) = 2
Kita masukkan ke dalam rumus :

P(4,2) =   4!     = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 = 12
             (4-2)!          2 x 1            2



Contoh Soal 2 :
Berapakah banyaknya bilangan yang dibentuk dari 2 angka berbeda yang bisa kita susun dari urutan angka 4, 8, 2, 3, dan 5?

Penyelesaian :
Pertanyaan di atas bisa disimpulkan sebagai permutasi yang terdiri dari 2 unsur yang dipilih dari 5 unsur, maka bisa dituliskan sebagai P(5,2). Lalu, kita masukkan ke dalam rumus :

P(5,2) =   5!    = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 = 20
             (5-2)!           3 x 2 x 1             6

Maka ada 20 cara yang bisa dilakukan untuk menyusun bilangan tersebut menjadi 2 angka yang berbeda - beda (48, 42, 43, 45, 84, 82, 83, 85, 24, 28, 23, 25, 34, 38, 32, 35, 54, 53, 52).

Kombinasi

Kombinasi merupakan sebuah kumpulan dari sebagian atau seluruh objek dengan tidak memperhatikan urutannya. Di dalam kombinasi {AB} dianggap sama dengan {BA} sehingga sebuah kombinasi dari dua objek yang sama tidak dapat terulang.

Rumus kombinasi dari suatu himpunan yang mempunyai n elemen bisa dituliskan sebagai berikut :

Rumus Kombinasi

C(n,r) = nCr = ⁿCr =     n!    
                                   r!(n-r)!

Perhatikan baik - baik penggunaan rumus tersebut untuk menyelesaikan soal - soal di bawah ini :

Contoh Soal :
Manuel Pelegrini membawa 16 pemain saat Manchester City melawan Liverpool di Etihad Stadium. 11 orang diantaranya akan dipilih untuk bermain pada babak pertama. Jika kita tidak memperhatikan posisi pemain, berapakah banyaknya cara yang bisa diambil oleh pelatih untuk memilih pemain?

Penyelesaian :
Karena tidak mementingkan posisi pemain, maka kita gunakan rumus kombinasi :

¹⁶C11 =      16         = 16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11!
            11!(16-11)!                   11!5!

     =       524160        = 524160 = 4368
        5 x 4 x 3 x 2 x 1       120


Contoh Soal :
Sebuah ember berisi 1 buah alpukat, 1 buah pir, 1 buah jeruk dan 1 buah salak. Berapakah banyaknya kombinasi yang tersusun dari 3 macam buah?

Penyelesaian :
Diketahui n = 4 dan r = 3, maka :

⁴C3 =    4!      = 4 x 3 x 2 x 1 =      24    = 24 = 4
         3!(4-3)!           3!1!           3 x 2 x 1    6


Demikianlah pembahasan materi mengenai Penjelasan Perbedaan Permutasi dan Kombinasi Matematika, Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap. Semoga kalian bisa memahami penjelasan dan contoh - contoh soal yang diberikan dengan mudah sehingga kalian tidak akan mengalami kesulitan dalam mengerjakan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Selamat belajar!