Daerah Himpunan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Dengan Grafik

A. Pertidaksamaan linear dua variabel

Pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu pertidaksamaan yang didalamnya memuat dua variabel yang masing-masing variabel berderajat satu dan tidak terjadi perkalian antar variabelnya. Bentuk – bentuk pertidaksamaan linear dua yaitu x dan y peubah dengan a,b,c R.

ax + by < c

ax + by c

ax + by > c

ax + by c

Himpunan penyelesaian adalah himpunan semua titik (x,y) pada sistem koordinat cartesius yang memenuhi pertidaksamaan linear dua peubah. Untuk menggambar daerah yang memenuhi pertidaksamaan linear ax + by c maka terlebih dahulu gambarlah garis ax + by c yang memotong sumbu-x di ( 0) dan memotong sumbu-y di (0, ). Kemudian ambil satu titik lain diluar garis. Jika titik yang diambil memenuhi ax + by c maka daerah yang diarsir adalah daerah dimana titik itu berada.

Contoh : Tentukanlah grafik himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear 2x + 3y 6 jika x dan y bilangan real.

Penyelesaian :

a.       Menentukan grafik 2x + 3y  6

Langkah – langkah untuk membuat grafik adalah sebagai berikut.

1)      Menentukan batas daerahnya yaitu gambarlah garis dengan persamaan 2x + 3y  6 pada bidang cartesius.

·         Jika x = 0 maka y = 2 sehingga diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu –y adalah (0,2)

·         Jika y = 0 maka x = 3 sehingga diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu-x adalah (3,0)

2)      Menentukan daerah yang memenuhi 2x + 3y  6 dengan menguji titik yang tidak terletak pada garis 2x + 3y =6. Misalkan ambil titik (0,0) maka diperoleh 2(0) + 3(0)  6

0  6 (benar)

                        Misal ambil titik (4,3) maka diperoleh

2(4) + 3(3)   6

                                                              17  6  (Salah)

      Maka daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah himpunan  

                  penyelesaian 2x + 3y  6.

Pada grafik terebut terlihat bahwa daerah himpunan penyelesaiannya yaitu berada dibawah gari 2x + 3y = 6.

Langkah-Langkah Menentukan Nilai Optimum Program Linear SMA

Program linear merupakan salah satu ilmu matematika yang digunakan untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi objektif dengan kendala tertentu. Untuk menentukan suatu nilai optimum (maksimum / minimum) pada permasalahan program linear dapat dilakukan dengan beebrapa langkah berikut.

a. Nyatakan apa yang diketahui kedalam tabel
b. Nyatakan pemisalan dalam variabel.
c. Nyatakan pemisalan kedua dalam variabel lain.
d. Buat model matematikanya.
e. Tentukan daerah himpunan penyelesaian dengan grafik
f. Menentukan titik – titik pojok daerah himpunan penyelesaian
g. Menguji titik – titik pojok pada fungsi obyektif

Pada langkah a sampai c dianggap telah mengerti. Untuk itu langsung dijelaskan mengenai langkah d dan seterusnya.

D. Membuat model matematika Peermasalahan Program Linear

Model matematika merupakan penerjemahan permasalahan sehari-hari ke dalam kalimat matematika. Pada umumnya, model matematika pada program linear terdiri atas pertidaksamaan sebagai fungsi kendala dan sebuah fungsi objektif. 

Contoh : Rina seorang lulusan tata boga membuat dua jenis kue untuk dijual di kantin yaitu kue lupis dan kue kelepon. Untuk membuat satu adonan kue lupis, diperlukan 300 gram tepung terigu dan 40 gram mentega. Untuk satu adonan kue kelepon diperlukan 200 gram tepung terigu dan 60 gram mentega. Rina memiliki persediaan 12 kg tepung terigu dan 3 kg mentega. Keuntungan dari satu adonan kue lupis adalah Rp. 30.000,00 dan satu adonan kue kelepon Rp.25.000,00. Berapa banyak adonan kue lupis dan kue kelepon yang harus dibuat agar diperoleh jumlah kue sebanyak-banyaknya?.

Penyelesaian :

Agar lebih mudah dalam membuat model matematika, masukkan informasi pada soal cerita kedalam tabel berikut :

Bahan yang diperlukan	Jenis Kue		Bahan yang tersedia
	Kue Lupis	Kue Kelepon
Terigu	300 gram	200 gram	12.000 gram
Mentega	40 gram	60 gram	3.000 gram

Misalkan x adalah banyaknya adonan kue lupis dan y adalah banyaknya adonan kue kelepon. Dari tabel tersebut dapat dibuat model matematika sebagai berikut :

300x + 200y ≤ 12.000           ---- >         3x + 2y ≤120

40x + 60 y ≤ 3.000               ---- >          2x + 3y ≤ 150

Banyaknya adonan kue tidak mungkin bernilai negatif maka x ≥ 0 dan y≥ 0. Sedangkan fungsi objektifnya adalah f(x,y) = x + y (jumlah kue lupis dan kue kelepon yang dapat dibuat).

E. Menentukan Nilai Optimum Dari Fungsi Objektif

Dalam permasalahan program linear intinya adalah menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) dari suatu fungsi. Nilai optimum yang diperoleh dari suatu permasalahan program linear dapat berupa nilai terbesar atau nilai terkecil.

Nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linear dapat ditentukan dengan beberapa cara, diantaranya metode uji titik pojok. Pada uji titik pojok penentuan nilai optimum fungsi dilakukan dengan cara menghitung nilai fungsi objektif f(x,y) = ax + by pada setiap titik pojok daerah himpunan penyelesaiannya. Bandingkan nilai – nilai f(x,y)= ax + by tersebut.

Contoh : Tentukan nilai maksimum fungsi objektif f(x,y) = x + y pada daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 3x + 2y ≤ 120, 2x + 3y ≤150, x ≥ 0 dan y ≥ 0 

penyelesaian :

Gambar grafik himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x + 2y ≤ 120, 2x + 3y ≤150, x ≥ 0 dan y ≥ 0  pada bidang cartesius.

Daerah yang diarsir adalah daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan.

Kemudian, tentukan titik – titik pojoknya dari daerah penyelesaian. Dari gambar daerah penyelesaian tersebut terdapat 4 titik pojok yaitu titik O, A, B, dan C. Dari keempat titik tersebut, koordinat titik B belum diketahui.

Menentukan titik koordinat titik B yaitu dengan mencari titik potong dari garis 3x + 2y = 120 dan garis 2x + 3y = 150.

Eliminasi kedua persamaan garis tersebut.

3x + 2y = 120 | x3 | 9x + 6y = 360                                                                 

2x + 3y = 150 | x2 | 4x + 6y = 300 -

                                         5x = 60

                                           x = 12

substitusikan nilai x = 12 kesalah satu persamaan garis tersebut.

    3x + 2y = 120

3(12) + 2y = 120

    36 + 2y = 120

2y = 84

y = 42

Jadi koordinat titik B adalah (12,42) dengan demikian telah diperoleh semua koordinat titik pojoknya adalah O(0,0), A(40,0), B (12,42) dan C(0,50). Menentukan nilai maksimum dengan membandingkan niali titik pojok kedalam fungsi objektif.

Pengertian Program Linear Kelas XI MIA SMA

Program linear merupakan salah satu ilmu matematika yang digunakan untuk memaksimumkan atau meminimumkan fungsi objektif dengan kendala tertentu. Dalam kehidupan sehari-hari sering ditemukan berbagai persoalan yang berkaitan dengan masalah memaksimum dan meminimumkan dengan sumber terbatas.

Masalah-masalah tersebut sering dijumpai dalam bidang industri, jasa, kooperasi juga dalam bidang perdagangan. Rina seorang lulusan tata boga membuat dua jenis kue untuk dijual di kantin yaitu kue lupis dan kue kelepon. Untuk membuat satu adonan kue lupis, diperlukan 300 gram tepung terigu dan 40 gram mentega. Untuk satu adonan kue kelepon diperlukan 200 gram tepung terigu dan 60 gram mentega. Rina memiliki persediaan 12 kg tepung terigu dan 3 kg mentega. Keuntungan dari satu adonan kue lupis adalah Rp. 30.000,00 dan satu adonan kue kelepon Rp.25.000,00. Berapa banyak adonan kue lupis dan kue kelepon yang harus dibuat agar diperoleh jumlah kue sebanyak-banyaknya?.

A. Model matematika permasalahan program linear 

Model matematika merupakan penerjemahan permasalahan sehari-hari ke dalam kalimat matematika. Pada umumnya, model matematika pada program linear terdiri atas pertidaksamaan sebagai fungsi kendala dan sebuah fungsi objektif. 

Contoh : Rina seorang lulusan tata boga membuat dua jenis kue untuk dijual di kantin yaitu kue lupis dan kue kelepon. Untuk membuat satu adonan kue lupis, diperlukan 300 gram tepung terigu dan 40 gram mentega. Untuk satu adonan kue kelepon diperlukan 200 gram tepung terigu dan 60 gram mentega. Rina memiliki persediaan 12 kg tepung terigu dan 3 kg mentega. Keuntungan dari satu adonan kue lupis adalah Rp. 30.000,00 dan satu adonan kue kelepon Rp.25.000,00. Berapa banyak adonan kue lupis dan kue kelepon yang harus dibuat agar diperoleh jumlah kue sebanyak-banyaknya?.

Agar lebih mudah dalam membuat model matematika, masukkan informasi pada soal cerita kedalam tabel berikut :

Bahan yang diperlukan	Jenis Kue		Bahan yang tersedia
	Kue Lupis	Kue Kelepon
Terigu	300 gram	200 gram	12.000 gram
Mentega	40 gram	60 gram	3.000 gram

Misalkan x adalah banyaknya adonan kue lupis dan y adalah banyaknya adonan kue kelepon. Dari tabel tersebut dapat dibuat model matematika sebagai berikut :

300x + 200y 12.000           ---- >         3x + 2y 120

40x + 60 y 3.000               ---- >          2x + 3y 150

Banyaknya adonan kue tidak mungkin bernilai negatif maka x  0 dan y  0. Sedangkan fungsi objektifnya adalah f(x,y) = x + y (jumlah kue lupis dan kue kelepon yang dapat dibuat).

Cara Menyelesaikan SPLDV Dengan Metode Grafik

Sistem Persamaan Linier Dua Variabel adalah suatu sistem persamaan yang variabel-variabel dari persamaan tersebut berpangkat satu. Sistem persamaan liner dua variabel terdiri atas dua persamaan linier yang masing-masing bervariabel dua.

Grafik untuk persamaan linear dua variabel berbentuk garis lurus. Bagaimana dengan ? Ingat,  terdiri atas dua buah persamaan dua variabel, berarti  digambarkan berupa dua buah garis lurus. Penyelesaian dapat ditentukan dengan menentukan titik potong kedua garis lurus tersebut. Untuk lebih jelasnya, coba perhatikan dan pelajari contoh berikut

Gunakan metode grafik, tentukanlah penyelesaian  berikut.

x + y = 6

2x + y = 8

Jawab:

Langkah pertama, menentukan titik potong terhadap sumbu x dan sumbu y padamasing-masing persamaan linear dua variabel.

Persamaan x + y = 6

Titik potong dengan sumbu x, berarti y = 0.

x + y = 6

x + 0 = 6

      x = 6

Diperoleh x= 6 dan y = 0, maka diperoleh titik potong dengan sumbu x dititik (6,0). Titik potong dengan sumbu y, berarti x = 0.

          x + y = 6

          0 + y = 6

                y = 6

Diperoleh x = 0 dan y = 6, maka diperoleh titik potong dengan sumbu y dititik (0,6).

Persamaan 2x + y = 8

Titik potong dengan sumbu x, berarti y = 0.

2x + y = 8

2x + 0 = 8

       2x = 8

        x = 4

Diperoleh x = 4 dan y = 0 maka diperoleh titik potong dengan sumbu x dititik (4,0). Titik potong dengan sumbu y, berarti x = 0.

          2x  +  y = 8

          2(0) + y = 8

                     y = 8

Diperoleh x = 0 dan y = 8 maka diperoleh titik potong dengan sumbu y dititik (0,8).

Langkah kedua, gambarkan ke dalam bidang koordinat Cartesius.

Persamaan x + y = 6 memiliki titik potong sumbu di (6,0) dan (0,6)

Persamaan 2x + y = 8 memiliki titik potong sumbu di (4,0) dan (0,8)

Perhatikan grafik berikut.

Langkah ketiga, tentukan himpunan penyelesaian  berikut.

Perhatikan gambar tersebut, titik potong antara garis x + y = 6 dan 2x + y = 8 adalah (2,4).  Jadi, Hp = {(2,4)}. 

Cara Menyelesaikan SPLDV Dengan Metode Substitusi - Eliminasi

Menyelesaikan SPLDV Dengan Metode Sustitusi - Eliminasi

A. Metode Substitusi

Penyelesaian  menggunakan metode substitusi dilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel yang lain kemudian nilai variabel tersebut menggantikan variabel yang sama dalam persamaan yang lain. Adapun langkah-langkah yang dapat dilakukan untuk menentukan penyelesaian  dengan menggunakan metode substitusi dapat kamupelajar i dalam contoh soal berikut.

Gunakan metode substitusi untuk menentukan penyelesaian  berikut.

x + y = 6

2x + y = 8

Jawab:

Langkah pertama, tuliskan masing-masing persamaan dalam bentuk persamaan (1) dan (2).

x + y= 6              …(1)

2x+ y = 8            …(2)

Langkah kedua, pilih salah satu persamaan, misalkan persamaan (1). Kemudian,

nyatakan salah satu variabelnya dalam bentuk variabel lainnya.

x + y = 6

      y = 6 – x                   … (3)

Langkah ketiga, nilai variabel y pada persamaan (3) menggantikan variabel y pada

persamaan (2).

       2x + y = 8

2x + 6 – x = 8

        x + 6 = 8

              x = 2                 …(4)

Langkah keempat, nilai x pada persamaan (4) menggantikan variabel x pada salah

satu persamaan awal, misalkan persamaan (1).

x + y = 6

2 + y = 6

    y = 4                        …(5)

Langkah kelima, menentukan penyelesaian  tersebut. Dari uraian diperoleh nilai x = 2 dan y = 4. Jadi, dapat dituliskan Hp = {(2,4)}.

B. Metode Eliminasi

Berbeda dengan metode substitusi yang mengganti variabel, metode eliminasi justru menghilangkan salah satu variabel untuk dapat menentukan nilai variabel yang lain. Dengan demikian, koefisien salah satu variabel yang akan dihilangkan haruslah sama atau dibuat sama. Untuk lebih jelasnya, coba kamu perhatikan dan pelajari contoh soal berikut

Contoh Soal

Gunakan metode eliminasi untuk menentukan penyelesaian  berikut.

   x + y = 6

2x + y = 8

Jawab:

Langkah pertama, menghilangkan salah satu variabel dari  tersebut. Misalkan, variabel y yang akan dihilangkan maka kedua persamaan harus dikurangkan.

  x + y = 6

          2x + y = 8­-

                - x = - 2

                  x = 2

diperoleh nilai x = 2.

Langkah kedua, menghilangkan variabel yang lain dari tersebut, yaitu variabel x. Perhatikan koefisien x pada tersebut tidak sama. Jadi, harus disamakan terlebih dahulu.

x + y = 6   |× 2|        2x + 2y = 12

2x + y = 8 |× 1|        2x + y = 8

Kemudian, kedua persamaan yang telah disetarakan dikurangkan

2x + 2y = 12

2x + y = 8 -

y = 4

diperoleh nilai y = 4

langkah ketiga, menentukan penyelesaian tersebut.

Diperoleh nilai x = 2 dan y = 4. Jadi, HP = {(2,4)}

C. Metode Campuran 

Penyelesaian  menggunakan metode gabungan yang dilakukan dengan cara menggabungkan dua metode yaitu metode eleminasi dan metode substitusi. Adapun langkah-langkah yang dapat dilakukan untuk menentukan penyelesaian  dengan menggunakan metode substitusi dapat kamu pelajari dalam contoh soal berikut

Gunakan metode gabungan untuk menentukan penyelesaian  berikut.

  x + y = 6                   

2x + y = 8                   

jawab :

Langkah pertama, tuliskan masing-masing persamaan dalam bentuk persamaan (1) dan (2)

x + y = 6             …(1)

2x+ y = 8            …(2)

Langkah kedua, eleminasi salah satu variabel, misalnya x, karena x memiliki koefisien yang sama

   x + y =  6

2x +  y =  8     -

       -x = -2

        x = 2

Langkah ketiga, setelah kita memperoleh nilai salah satu variabel yaitu y, kita substitusikan nilai x = 2 ke salah satu persamaan misalnya ke persamaan (2), sehingga kita peroleh

             2x + y = 8

          2(2) + y = 8

                     y = 8 - 4

      y = 4

Langkah keempat, menentukan penyelesaian  tersebut.

Diperoleh nilai x = 2 dan y = 4. Jadi, HP = {(2,4)}.