Materi Pelajaran Matematika Kelas 9 BAB 4 Peluang

Teori peluang muncul dari inspirasi para penjudi yang berusaha mencari informasi bagaimana kesempatan mereka untuk memenangkan suatu permainan judi.  Girolamo Cardano (1501-1576), seorang penjudi dan fisikawan adalah orang pertama yang menuliskan analisis matematika dari masalah-masalah dalam permainan judi. Adapun ilmu hitung peluang yang dikenal dewasa ini dikemukakan oleh tiga orang Prancis, yaitu bangsawan kaya Chevalier de Mere dan dua ahli matematika, yaitu Blaise Pascal dan Pierre de Fermat.

Walapun teori peluang awalnya lahir dari masalah peluang memenangkan permainan judi, tetapi teori ini segera menjadi cabang matematika yang digunanakan sacara luas. Teori ini meluas penggunaannya dalam bisnis, meteorology, sains, dan industri. Misalnya perusahaan asuransi jiwa menggunakan peluang untuk menaksir berapa lama seseorang mungkin hidup; dokter menggunakan peluang untuk memprediksi kesuksesan sebuah pengobatan; ahli meteorologi menggunakan peluang untuk kondisi-kondisi cuaca; peluang juga digunanakan untuk memprediksi hasil-hasil sebelum pemilihan umum; peluang juga digunakan PLN untuk merencanakan pengembangan sistem pembangkit listrik dalam menghadapi perkembangan beban listrik di masa depan, dan lain-lain.lebih lanjut klik disini
Adapun materi peluang yang akan dibahas pada tulisan ini akan dibatasi pada masalah:
A)    Percobaan, ruang sampel, dan kejadian
B)    Peluang suatu kejadian
C)    Peluang percobaan kompleks
D)    Peluang Kejadian Majemuk
A) Percobaan, Ruang Sampel, dan Kejadian
Percobaan adalah: suatu kegiatan yang dapat diulang dengan keadaan yang sama untuk menghasilkan sesuatu.
Ruang Sampel adalah : Himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu kejadian (percobaan)
Titik Sampel adalah : Anggota-anggota dari ruang sampel
Kejadian atau Peristiwa adalah himpunan bagian dari ruang sampel.
Contoh :

1. Misalkan sebuah dadu bermata enam dilemparkan satu kali maka tentukan!
2. Hasil yang mungkin muncul
3. Ruang Sampel
4. Titik sampel
5. Banyaknya kejadian mata dadu ganjil
6. Banyaknya kejadian mata dadu kurang dari 3

Jawab:

1. Hasil yang mungkin muncul adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6
2. Ruang sampel atau S = {1,2,3,4,5,6}
3. Titik sampel sama dengan hasil yang mungkin yaitu mata dadu 1,2,3,4,5 dan 6

1. Misalkan A adalah kejadian mata dadu ganjil

Kejadian A={1,3,5}
Banyaknya kejadian mata dadu ganjil adalah  n(A) =3

1. Misalkan B adalah Kejadian mata dadu kurang dari 3

Kejadian B={1,2}
Banyaknya kejadian mata dadu kurang dari 3 adalah n(B)=2

1. Sebuah mata uang logam dilambungkan satu kali, tentukan!
2. Ruang sampel
3. Kejadian munculnya angka
4. Banyaknya ruang Sampel
5. Banyaknya kejadian muncul angka

Jawab:
Sebuah mata uang mempunyai dua sisi yaitu Angka (A) dan Gambar(G).

1. Ruang Sampelnya adalah S={A, G}
2. Kejadian munculnya angka adalah {A}
3. Kejadian munculnya gambar adalah {G}
4. Banyaknya ruang sampel, n(S)=2 yaitu {A} dan {G}
5. Banyaknya kejadian muncul angka, n(Angka)=1 atau n(A)=1

1. Dua buah mata uang logam dilemparkan bersama-sama, tentukan!

1. Ruang sampelnya                   c. Banyaknya kejadian keduanya gambar.
2. Banyaknya Ruang Sampel

Jawab:

1. Ruang sampelnya

Mata Uang II	A	G
Mata Uang I
A	AA	AG
G	GA	GG

Ruang Sampelnya : {AA,GA,AG,GG}

1. Banyaknya ruang sampel, n(S)=4
2. Misalkan B adalah kejadian keduanya gambar.

Kejadian B = {GG}
Maka bayaknya kejadian keduanya gambar, n(B) = 1

1. Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama. Tentukan:

1. Ruang sampelnya
2. Banyaknya Ruang Sampel
3. Banyaknya kejadian mata dadu 4 pada dadu pertama.
4. Banyaknya kejadian mata dadu 5 pada dadu kedua.

Jawab:
Karena ada dua buah dadu maka kita buat tabel berikut:

1. Ruang sampel

Karena ada dua buah dadu maka kita buat tabel berikut:

DADU II	1	2	3	4	5	6
DADU I
1	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
2	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
3	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
4	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
6	(6,1)	(6,2)	(5,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)

S={(1,1),(1,2),(1,3),   …  (6,4),(6,5),(6,6)}

1. Banyaknya Ruang sampel, n(S)= 36.
2. Misalkan A adalah  kejadian munculnya mata dadu 4 pada dadu pertama.

Kejadian A = {(4,1),(4,2), (4,3),(4,4),(4,5),(4,6)}
Banyaknya kejadian mata dadu 4 pada dadu pertama, n(A)=4

1. Misalkan B adalah  kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua.

Kejadian B = {(1,5),(2,5), (3,5),(4,5),(5,5),(6,5)}
Banyaknya kejadian mata dadu 5 pada dadu kedua, n(B)=4

Soal Latihan

1. Dari satu set kartu Bridge, diambil dua kartu secara acak.  Tentukan !
   1. Banyaknya Ruang sampel,       b. Bayaknya kejadian keduanya kelor(¨).
2. Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama. Tentukan
   1. Banyaknya kejadian  muncul mata dadu yang berjumlah 7
   2. Banyaknya kejadian muncul mata dadu 2 pada dadu I
   3. Banyaknya kejadian muncul mata dadu 6 pada dadu II
3. Setumpuk kartu yang bernomor 1 sampai 12. Tentukan!
4. Ruang Sampel
5. Banyaknya Ruang Sampel
6. Kejadian kartu kelipatan 3
7. Banyaknya kartu kelipatan 3
8. Dari satu set kartu bridge, diambil dua buah kartu. Tentukan!
   1. Kejadian terambil keduanya kartu bergambar orang. (J,Q,K)
   2. Banyaknya Kejadian terambil keduanya kartu bergambar orang. (J,Q,K)
9. Tiga mata uang logam dilemparkan bersama-sama. Tentukan!
   1. Banyaknya Ruang Sampel
   2. Kejadian mendapatkan dua gambar.
   3. Banyaknya kejadian mendapatkan dua gambar.
10. Sebuah kantong berisi 4 kelereng merah, 2 kelereng biru, dan 3 kelereng putih. Satu kelereng diambil secara acak. Tentukan!
    1. Banyaknya Ruang Sampel
    2. Banyaknya kejadian mendapatkan kelereng berwarna biru.
11. Sebuah kotak berisi 9 bola pingpong yang diberi warna yaitu 4 warna hitam, 3 warna putih dan 2 warna kuning. Diambil 3 bola secara acak.Tentukan !
    1. Banyaknya Ruang Sampel
    2. Banyaknya kejadian terambilnya bola warna hitam semua.
    3. Banyaknya kejadian terambilnya 2 bola warna putih, dan 1 warna kuning
    4. Banyaknya kejadian terambilnya 1 bola hitam, 1 bola putih, 1 bola kuning.

B) Peluang suatu kejadian

1. a. Peluang suatu Kejadian

Kejadian atau Peristiwa adalah Himpunan bagian dari ruang sampel.
Peluang suatu kejadian adalah Banyaknya kejadian dibagi dengan banyaknya ruang sampel.
Misalkan P(A) adalah Peluang Kejadian A, dan S adalah Ruang sampel.
Maka
P(A)     : Peluang kejadian A
n(A)     : Banyaknya anggota dalam kejadian A
n(S)      : Banyaknya anggota ruang Sampel

1. b. Kisaran Nilai Peluang

Kisaran Nilai Peluang K adalah :
0£P(K) £1
P(K)=0 disebut Peluang Kejadian K adalah nol atau Kemustahilan
P(K)=1 disebut Peluang Kejadian K adalah 1 atau Pasti terjadi / Kepastian

Contoh:

Sebuah dadu dilambungkan satu kali. Tentukan peluang

1. Munculnya mata dadu ganjil  b. Munculnya mata dadu kurang dari 3

Jawab:
n(S)=6

1. Misalkan A adalah Kejadian Ganjil

Kejadian A={1,3,5}, n(A) =3
Maka Peluang munculnya mata dadu ganjil adalah
= 3/6=1/2

1. Misalkan B adalah Kejadian mata dadu kurang dari 3

Kejadian B={1,2}, n(B)=3
Maka peluang munculnya mata dadu kurang dari 3 adalah
= 3/6=1/2

1. Dua buah mata uang logam dilemparkan ke atas bersama-sama, tentukan!

1. Peluang munculnya satu gambar       b. Peluang muncul keduanya gambar

Jawab:
n(S) = 4

1. Misalkan A adalah  kejadian satu gambar.

Kejadian A = {GA , AG}, n(A) = 2
Maka peluang kejadian satu gambar:
=2/4 =1/2

1. Misalkan B adalah kejadian keduanya gambar.

Kejadian B = {GG}, n(B) = 1
Maka peluang kejadian keduanya gambar:
=1/4

1. Dua buah dadu dilambungkan ke atas bersama-sama. Tentukan peluang munculnya mata dadu 4 pada dadu pertama dan mata dadu 5 pada dadu kedua

Jawab:
Misalkan A adalah Kejadian munculnya angka  mata dadu 4 pada dadu I.
Dan Kejadian  B adalah kejadian munculnya angka  mata dadu 5 pada dadu II.
n(S)=36
Karena ada dua buah dadu maka kita buat tabel berikut:

DADU II	1	2	3	4	5	6
DADU I
1	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
2	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
3	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
4	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
6	(6,1)	(6,2)	(5,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)

Kejadian A dan B adalah : {(4,5)}
Peluang munculnya adalah

1. Sebuah dadu bermata enam dilemparkan ke atas satu kali maka tentukan peluang munculnya mata dadu 9.

Jawab :
Mustahil terjadi, P=0 (Kemustahilan)

1. Tentukan peluang matahari akan terbit dari timur pagi hari.

Jawab:
Terbitnya matahari dari timur bukan sebuah percobaan. (Pasti)

Soal Latihan

1. Dua buah mata uang logam dilemparkan ke atas bersama-sama, tentukan!
2. Dari satu set kartu Bridge, diambil dua kartu secara acak. Berapa peluang terambil keduanya kelor (¨)?
3. Dua buah dadu dilambungkan ke atas bersama-sama. Tentukan peluang :
   1. Munculnya mata dadu yang berjumlah 7
   2. Munculnya mata dadu 2 pada dadu I
   3. Munculnya mata dadu 6 pada dadu II
4. Setumpuk kartu yang bernomor 1 sampai 12. Tentukan peluang terambilnya kartu kelipatan 3
5. Dua buah dadu dilambungkan ke atas bersama-sama. Tentukan peluang muncul keduanya berjumlah kurang dari 8
6. Dari satu set kartu bridge, diambil dua buah kartu. Tentukan peluang terambil keduanya kartu bergambar orang. (J,Q,K)
7. Tiga mata uang logam dilemparkan bersama-sama. Tentukan peluang mendapatkan dua gambar dan satu angka.
8. Sebuah kantong berisi 4 kelereng merah, 2 kelereng biru, dan 3 kelereng putih. Satu kelereng diambil secara acak. Tentukan peluang mendapatkan kelereng berwarna biru!
9. Sebuah kotak berisi 9 bola pingpong yang diberi warna yaitu 4 warna hitam, 3 warna putih dan 2 warna kuning. Diambil 3 bola secara acak. Tentukan Peluang!
   1. Terambilnya bola warna hitam semua,
   2. Terambilnya 2 warna putih dan 1 warna kuning,
   3. Terambilnya 1 hitam, 1 putih dan 1 kuning.

1. Peluang munculnya satu angka
2. Peluang muncul keduanya angka

Menentukan frekuensi harapan suatu kejadian

Ringkasan materi

Frekuensi harapan suatu peristiwa pada suatu percobaan yang dilakukan sebanyak n kali adalah Hasil kali peluang peristiwa itu dengan n.
f_h = n x P(A)

Contoh:

1. Sebuah mata uang logam dilemparkan 50 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya angka

Jawab:
Misalkan A adalah kejadian munculnya angka pada mata uang.
Ruang Sampel , S={A,G},n(S)=2
Kejadian A={A},n(A)=1,
P(A)=1/2
Maka frekuensi harapan munculnya angka adalah
f_h(A)=1/2 x 50 = 25 kali

1. Sebuah dadu dilambungkan 30 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya mata dadu prima.

Jawab:
Misalkan B adalah kejadian munculnya mata dadu Prima.
Ruang Sampel adalah S={1,2,3,4,5,6},n(S)=6
Kejadian B adalah B={2,3,5}, n(B)=3,
P(B) = 3/6 =1/2
Maka frekuensi harapan munculnya mata dadu prima adalah
f_h(B) = 1/2 x 30 = 15 kali

1. Peluang seseorang akan terjangkit penyakit virus AIDS-HIV di Indonesia pada tahun 2005 adalah 0,00032. Diantara 230 juta penduduk Indonesia, berapa kira-kira yang terjangkit virus tersebut pada tahun 2005?

Jawab:
Misalkan C adalah kejadian terjangkitnya seseorang oleh virus AIDS-HIV
P(C) =0,00032
Maka f_h(C) = 0,00032 x 230.000.000 = 73.600 orang

Soal Latihan

1. Sebuah uang koin dilambungkan 600 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya gambar
2. Peluang Grup A akan memenangkan pertandingan volly terhadap grup B adalah . Berapa frekuensi harapan grup A akan menang jika pertandingan tersebut direncanakan 12 kali.
3. Dalam suatu kotak terdapat 4 bola merah dan 2 bola putih. Diambil secara acak dua bola. Jika percobaan ini dilakukan 10 kali, tentukan frekuensi harapan terambilnya dua bola merah!
4. Pada bulan April 2004 (jumlah hari ada 30) peluang akan turun hujan untuk satu hari menurut perkiraan cuaca adalah 0,2. Berapa kali hujan yang diharapkan terjadi pada bulan tersebut.
5. Peluang bola lampu akan rusak dalam sebuah peti lampu adalah 0,11. Berapa banyak lampu yang akan rusak dalam peti tersebut jika terdapat 205 bola lampu?
6. Dua buah dadu dilambungkan 120 kali. Berapa frekuensi harapan munculnya mata dadu yang kembar (mata dadu sama).

Menentukan Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Ringkasan Materi

Komplemen dari kejadian A ditulis A^c adalah kejadian bukan A.
Peluang kejadian bukan A dirumuskan :

Contoh:

1. Sebuah dadu dilambungkan ke atas satu kali. Jika kejadian A adalah munculnya mata dadu genap, maka tentukan kejadian bukan A

Jawab:
Ruang Sampel adalah S = {1,2,3,4,5,6}, n(S)=6
Kejadian A adalah A={2,4,6}, n(A)=3
Kejadian Bukan A adalah A^c = {1,3,5}      ,karena A dan A^c ÎS

1. Dari seperangkat kartu Bridge, diambil secara acak sebuah kartu. Tentukan peluang terambilnya
   1. Bukan kartu Ace
   2. Bukan kartu berwarna merah

Jawab:

1. Banyaknya ruang sampel n(S) =52

Misalkan A adalah kejadian terambilnya kartu Ace.
n(Ace) = n(A) = 4
Peluang terambilnya Ace, P(A)=4/52 =1/13
Maka peluang bukan Ace, P(A^c) = 1 – 1/13 = 12/13

1. Misalkan B adalah kejadian terambilnya kartu berwarna merah.

n(Merah) = n(B) = 26        (ada 26 berwarna merah)
Banyaknya ruang sampel n(S) =52
Peluang terambilnya kartu merah , P(B)= = =
Maka peluang terambilnya bukan kartu berwarna merah, P(B^c) = 1 – =

Soal Latihan

1. Dua buah dadu dilambungkan ke atas bersama-sama satu kali. Tentukan peluang munculnya mata dadu bukan kembar.
2. Dalam sebuah kantong terdapat 10 kelereng merah, dan 8 kelereng putih, jika diambil 2 kelereng secara acak berapakah peluang mendapatkan sedikitnya satu kelereng putih?
3. Dari setumpuk bola dalam karton  yang diberi nomor 1 sampai dengan 20, diambil dua bola secara acak. Berapakah peluang mendapatkan bola yang nomornya berjumlah lebih dari 5?
4. Dalam sebuah kantong terdapat 15 baterai, terdapat 5 buah baterai yang rusak/mati. Jika dipilih 3 buah baterai secara acak, berapakah peluang:
   1. Tidak ada yang rusak?
   2. Hanya sebuah yang rusak?
   3. Sekurang-kurangnya sebuah yang rusak?
5. Dalam suatu kelas terdapat 6 siswa gemar belajar Fisika, 5 siswa gemar belajar Kimia, dan 4 siswa gemar belajar matematika. Jika dipanggil 3 orang siswa oleh gurunya untuk datang ke Ruang guru, Berapa peluang tidak terpanggilnya siswa yang gemar belajar Fisika?
6. Dalam sebuah dos terdapat 3 kaleng Coca-cola, 4 kaleng Sprite dan 4 kaleng Fanta. Akan diambil 3 kaleng secara acak. Berapa peluang terambil maksimal dua jenis kaleng dari ketiga jenis kaleng tersebut?.

Materi Pelajaran Matematika Kelas 9 BAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Untuk materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu:

Kompetensi Dasar :

1. Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar
   
2. Melakukan operasi aljabar yang melibatkan bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar
   
3. Memecahkan masalah sederhanayang berkaitan dengan bilangan berpangkat dan bentuk akar
   

Daftar isi [sembunyikan] 1 Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif 2 Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif 3 Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan 3.1 Bilangan Rasional dan Irasional 3.2 Bentuk Akar 3.3 Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya 4 Operasi Aljabar pada Bentuk Akar 4.1 Penjumlahan dan Pengurangan 4.2 Perkalian dan Pembagian 4.3 Perpangkatan 4.4 Operasi Campuran 5 Merasionalkan Penyebut 5.1 Penyebut Berbentuk √b 5.2 Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b) 5.3 Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d) 6 Referensi

Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif

Masih ingat bentuk berikut :
3² = 3 x 3
2³ = 2 x 2 x 2
5⁶ = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5
Demikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut.

Dengan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif Dari pengertian di atas akan diperoleh sifat-sifat berikut.

Sifat 1
aⁿ x aⁿ = a^{m + n}
2⁴ x 2³ = (2 x 2 x 2 x 2 )x(2 x 2 x 2 )
           = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
           = 27
           = 2⁴⁺³
Sifat 2
a^m : aⁿ = a^{m - n}, m > n
5⁵ : 5³ = (5 x 5 x 5 x 5 x 5) : (5 x 5 x 5)
           = 5 x 5
           = 52
           = 5^{5 - 3}
Sifat 3
(a^m)ⁿ = a^{m x n}
(3⁴)² = 3⁴ x 3⁴
       = (3 x 3 x 3 x 3) x (3 x 3 x 3 x 3)
       = (3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3)
       = 38
       = 3^{4 x 2}

Sifat 4
(a x b)^m = a^m x b^m
(4 x 2)³ = (4 x 2) x (4 x 2) x (4 x 2)
           = (4 x 4 x 4) x (2 x 2 x 2)
           = 4³ x 2³
Sifat 5
(a : b)^m = a^m : b^m
(6 : 3) ⁴ = (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3) x (6 : 3)
            = (6 x 6 x 6 x 6) : (3 x 3 x 3 x 3)
            = 6⁴ : 3⁴

Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Negatif

Dari pola bilangan itu dapat disimpulkan bahwa 2⁰ = 1 dan 2^-n = ¹/_2ⁿ , secara umum dapat ditulis :


Pecahan Berpangkat Bilangan Bulat
Kita telah mengetahui bahwa pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat (b ≠ 0). Bagaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat? Untuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat.
Contoh:
Tentukan hasil berikut ini!
 (¹/₂)⁵
Jawab :

Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pecahan

Bilangan Rasional dan Irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. Contoh bilangan rasional adalah -5, ^-1/₂, 0, 3, ³/₄, dan ⁵/_9.

Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b dengan a, b bilangan bulat dan b ≠ 0.
Contoh bilangan irasional adalah . Bilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya

√2 = 1,414213562 .... Selanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real.

Bentuk Akar

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah √2 dan √5 . Bentuk seperti itu disebut bentuk akar. Dapatkah kalian menyebutkan contoh yang lain?
Bentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan Rasional.
Bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi
√a² = a jika a ≥ 0, dan –a jika a < 0
Contoh :
Sederhanakan bentuk akar berikut √75
Jawab :
√75 = √25x3 = √25 x √3 = 5√3

Mengubah Bentuk Akar Menjadi Bilangan Berpangkat Pecahan dan Sebaliknya

Bentuk √a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu √2,√3, √5, √10, √15 dan √19 merupakan bentuk akar kuadrat. Untuk selanjutnya, bentuk akar ⁿ√a^m dapat ditulis a^m/n (dibaca: a pangkat m per n). Bentuk a^m/n disebut bentuk pangkat pecahan.

contoh :


jawab :

Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Penjumlahan dan Pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis.


kesimpulan :
jika a, c = Rasional dan b ≥ 0, maka berlaku

a√b + c√b = (a + c)√b

a√b - c√b = (a - c)√b

Perkalian dan Pembagian

Contoh :
Tentukan hasil operasi berikut :


jawab :

Perpangkatan

Kalian tentu masih ingat bahwa (a^)" = a^'. Rumus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan.
Contoh:

Operasi Campuran

Dengan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. Sebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.

• Prioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung.
• Jika tidak ada tanda kurungnya maka

1. pangkat dan akar sama kuat;
2. kali dan bagi sama kuat;
3. tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih awal dikerjakan terlebih dahulu;
4. kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu.

Contoh :

Merasionalkan Penyebut

Dalam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya
Agar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Artinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. Penyebut dari pecahan-pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah
Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional.

Penyebut Berbentuk √b

Jika a dan b adalah bilangan rasional, serta √b adalah bentuk akar maka pecahan ^a/_√b dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan ^√b/_√b .


Contoh :
Sederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya!


jawab :

Penyebut Berbentuk (a+√b) atau (a+√b)

Jika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk (a+√b) atau (a+√b) maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan sekawannya. Sekawan dari (a+√b) adalah (a+√b) adalah dan sebaliknya.
Bukti

Contoh :
Rasionalkan penyebut pecahan berikut.

jawab :

Penyebut Berbentuk (√b+√d) atau (√b+√d)

Pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar sekawannya, yaitu sebagai berikut.

Contoh:
Selesaikan soal berikut!

Jawab :

Materi Pelajaran Matematika Kelas 9 BAB 6 Barisan dan Deret

Barisan Aritmatika

          (1) 3, 7, 11, 15, 19, ...
          (2) 30, 25, 20, 15, 10,...
Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c.
          Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar.
          Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.
Suatu barisan U₁, U₂, U₃,....disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l).
        3, 7, 11, 15, 19, ...
Misalkan U1, U2, U3 , .... adalah barisan aritmetika tersebut maka
       U₁ = 3 =+ 4 (0)

       U₂ = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)
       U₃ = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)
            ....
       U_n = 3 + 4(n-1)
Secara umum, jika suku pertama (U₁) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n - 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan
       U_n = a + b(n-1)
Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.
        U₁, U₂, U₃, .......U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
        U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = .... = U_n - U_n-1 = konstanta
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n

Deret Aritmatika

Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U₁, U₂, U₃, ... barisan aritmetika. U_1, U₂, U₃, ... adalah deret aritmetika.
Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).
      3 +7 + 1l + 15 + 19 + ...
Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.S_n maka S dari deret di atas adalah :

Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah

Jika nilai Un tidak diketahui, kita gunakan rumus Un, barisan aritmetika, yaitu Un = a + (n-1)b, sehingga jumlah n suku pertama adalah

jumlah n suku pertama dari suatu deret aritmetika yang suku pertamanya a dan beda b adalah

Untuk memudahkan perhitungan Sn suatu deret aritmetika, perhatikan hal-hal berikut. a. Jika diketahui suku pertama a dan beda b, gunakan rumus
b. Jika diketahui suku pertama dan suku ke-n,gunakan rumus

SOAL LATIHAN

1.       Selisih dua bilangan asli adalah 36 dan bilangan kedua adalah lima kali bilangan pertama. Jika kedua bilangan itu berturut – turut membentuk  suku kelima dan suku kedua suatu barisan aritmetika maka tentukan suku ke sepuluh!

                Penyelesaian :

                *) y – x = 36 →y = 36 + x      →             5x = 36 + x

                *) y= 5x                                                     4x = 36→ x = 9 → y = 45

                U₅= 9 → a + 4b = 9                                         

                U₂= 45 → a + b = 45   -                                         

                                        3b = -36

                                        b = – 12                     U₁₀= a + 9b

                                        a = 57                                = 57 – 108 = – 51

2.       Misalkan a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ adalah suatu deret aritmetika yang berjumlah 75. Jika a₂= 8 maka tentukan a₆ !

        a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ = 75                                                        a₂= 8

        a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + (a + 4b) + (a + 5b) = 75        a + b = 8

        6a + 15b = 75                                                                                   a = 8 – b

        2a + 5b = 25

        2(8 – b) + 5b = 25

        16 + 3b = 25 →b = 3 → a = 5 → a₆= a + 5b = 5 + 15 = 20 

3.       1 – 3 + 5 + 7 – 9 + 11 + 13 – 15 + 17 + 19 – 21 + ….. + 193 – 195 + 197 = ?

  = 1–3+(5+7)–9+(11+13)–15+(17+19)–21+ …..–189+(191+ 193)–195+197

  = 1–3+  12   –9+   24    – 15+    36    – 21+….. – 189 +      384   – 195 + 197

  = 1 + 197 + (12 + 24 + 36 + … + 384) – 3 – 9 – 15 – ……. – 195

  = 198 + 16(12 + 384) – 33/2(3 + 195)

  = 198 + 6336 – 3267 = 3267           

4.       Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut :

        kelompok 1        : {1},

        kelompok 2        : {3,5},

        kelompok 3        : {7,9,11},

        kelompok 4        : {13,15,17,19}, …

        dst

        maka berapakah bilangan pertama dari kelompok ke-100 ?

        kelompok 1        : {1}                        = 1² – 0

        kelompok 2        : {3,5}                    = 2² – 1

        kelompok 3        : {7,9,11}              = 3² – 2  

        kelompok 4        : {13,15,17,19}    = 4² – 3

        .

        .              

        Kelompok 100   :                               = 100² – 99 = 10.000 – 99 = 9.901   

       

5.   Tiga buah bilangan positif membentuk barisan aritmetika dengan beda 16. Jika bilangan terkecil ditambah 10 dan bilangan terbesar dikurangi 7, maka diperoleh barisan geometri. Tentukan jumlah ketiga bilangan tersebut !

                Misalkan bilangan itu : a – 16, a , a + 16

                (a + 16 – 7 ) : a = a : (a – 16 + 10)

                a² = (a + 9)(a – 6)

                a²= a² + 3a – 54

                3a = 54 →a = 18

                Sehingga jumlah 3 bilangan itu = 2 + 18 + 34 = 54 

6.  Jika jumlah sepuluh suku pertama suatu deret aritmetika adalah – 110 dan jumlah dua suku berturut-turut berikutnya adalah 2 maka tentukan jumlah 2 suku pertama !

                S₁₀ = 5(2a + 9b)                         U₁₁ + U₁₂= 2                    2a + 9b = – 22

                 – 110 = 5(2a + 9b)          a + 10b + a+ 11b =2                      2a + 21b =    2 -

– 22 = 2a + 9b         2a + 21b = 2                   12b = 24                                                                                                                       b =2 →a = – 20

                                     sehingga a + a + b = – 40  + 2 = – 38                         

7.       Jika a, b, c, d dan e membentuk barisan geometri dan a.b.c.d.e = 1.024 maka berapakah nilai c ?

                a.b.c.d.e = 1.024                                              

                a.ar.ar².ar³.ar⁴ = 4⁵                                           karena c merupakan suku ke-3 maka

                a⁵.r¹⁰ = 4⁵                                                             c = ar² = 4

                (ar²)⁵ = 4⁵

                ar² = 4

8.  Diketahui barisan bilangan bulat 3, x, y dan 18. Jika tiga bilangan pertama membentuk barisan geometri dan tiga bilangan terakhir membentuk barisan aritmetika. Maka tentukan x + y !

                y : x = x : 3                                                           18 – y = y – x

                x²= 3y                                                                  2y = 18 + x →y = (18 + x)/2

                x² = 3(18 + x)/2

                2x² = 3(18 + x)                                                    sehingga : x + y = 6 + 12 = 18

                2x²– 3x – 54 =0

                (2x + 9)(x – 6) = 0

                x = 6 →y = 12  

9.     Diketahui  p, q dan r merupakan akar – akar persamaan suku banyak berderajat tiga. Jika p, q dan r membentuk barisan aritmetika, dengan suku ketiga tiga kali suku pertama dan jumlah dari ketiga akar  adalah  12 maka tentukan persamaan dari suku banyak tersebut !

                r – q = q – p                        r = 3p                                     p + q + r = 12

                2q = p + r                                                                          p + 2p + 3p = 12

                2q = p + 3p                                                                                      6p = 12

                2q = 4p                                                                                 p = 2→ q = 4 → r = 6

                q = 2p

                                                sehingga persamaan suku banyaknya : (x – 2)(x – 4)(x – 6) = 0

 10.   Pada suatu barisan geometri dengan r > 1, diketahui dua kali jumlah empat suku pertama adalah tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika diantara suku – suku tersebut disisipkan empat bilangan, dengan cara : antara suku kedua dan ketiga disisipkan satu bilangan dan antara suku ketiga dan keempat disisipkan tiga buah bilangan maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda r. Hitung jumlah dari bilangan yang disisipkan !

                2S₄ = 3(U₂ +U₄)                                                                 

                2 a(r⁴ - 1)/(r - 1) = 3(ar + ar³)

                2a(r⁴– 1) = 3ar(1 + r²)(r – 1)

                2(r² + 1)(r – 1)(r + 1) = 3r(r²+1)(r – 1)         x    = a + 2b = 2 + 4 = 6

                2r + 2 = 3r                                                     y    = a + 4b = 2 + 8 = 10

                r = 2                                                               z = a + 5b = 2 + 10 = 12     

           U₁  U₂  x U₃ y z w U₄                                         w =a+ 6b = 2 + 12 =14 +

                a    2a      4a          8a                                             x + y + z + w = 42

                b =2a – a

                     2 = a

Materi Pelajaran Matematika Kelas 9 BAB 2 Bangun Ruang Sisi Lengkung

Di sekitar kita banyak dijumpai benda-benda yang merupakan refleksi dari bangun ruang sisi lengkung. Bahkan benda-benda tersebut sering kita gunakan baik sebagai peralatan maupun permainan. Sebut saja bola, kelereng, kaleng minuman, bedug, terompet, dan corong. Jika demikian, benda-benda tersebut tidak asing lagi bagi kita. Benda-benda tersebut merupakan refleksi dari bangun ruang yang berupa bola, tabung, dan kerucut. Akan lebih menyenangkan jika kita dapat mengetahui berapa banyak benda-benda tersebut menampung udara, air, serta berapa panjang dan luas kulit bola atau kaleng tersebut. Untuk itu kita akan pelajari lebih lanjut dalam bab Bangun Ruang Sisi Lengkung. Setelah mempelajari bab ini diharapkan kalian dapat mengidentifikasi unsur-unsur tabung, kerucut, dan bola serta menghitung luas selimut dan volume bangun tersebut. Yang tak kalah penting adalah kalian dapat memecahkan masalah yang berkaitan dengan bangun ruang tersebut.

A. Tabung (Silinder)

Perhatikan gambar di samping. Bentuk apakah yang dimanfaatkan alat musik tersebut. Mengapa drum selalu berbentuk tabung?

1. Unsur-unsur Tabung dan Melukis Jaring-jaring Tabung

Sebelum kita mempelajari lebih lanjut mengenai tabung, coba sebutkan benda-benda di sekitar kalian yang berbentuk tabung. Berikut ini akan kita pelajari berbagai hal tentang tabung.

a. Unsur-unsur Tabung
Dapatkah kalian menyebutkan unsur-unsur sebuah tabung? Agar dapat menjawabnya, lakukanlah kegiatan berikut.

Dari kegiatan tersebut kita akan dapat mengetahui unsur-unsur tabung. Salin dan isikan unsur-unsur itu pada tempat yang tersedia.
a. Tinggi tabung ....
b. Jari-jari alas tabung ... dan jari-jari atas tabung ....
c. Diameter alas tabung ... dan diameter atap tabung ....

d. Alas dan atap tabung berupa bidang datar yang berbentuk ....
e. Selimut tabung berupa bidang lengkung. Apabila dibuka dan dilembarkan berbentuk ....

b. Jaring-jaring Tabung
Dari kegiatan sebelumnya kita dapat mengetahui bahwa tabung atau silinder tersusun dari tiga buah bangun datar, yaitu:
a. dua buah lingkaran sebagai alas dan atap silinder,
b. satu buah persegi panjang sebagai bidang lengkungnya atau selimut tabung.

Rangkaian dari ketiga bidang datar itu disebut sebagai jaring-jaring tabung. Coba kalian gambarkan jaring-jaring dari kaleng tersebut. Apakah kalian mendapatkan jaring-jaring tabung seperti gambar berikut?

Gambar 2.3 menunjukkan jaring-jaring sebuah tabung dengan jari-jari alas dan atapnya yang berupa lingkaran adalah r dan tinggi tabung adalah t.

Jaring-jaring tabung terdiri atas:
a. Selimut tabung yang berupa persegi panjang, dengan panjang selimut sama dengan keliling lingkaran alas tabung 2πr dan lebar selimut sama dengan tinggi tabung t.
b. Dua lingkaran dengan jari-jari r.

2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Tabung

Sebuah benda berbentuk tabung memiliki jari-jari r dan tinggi t. Jika kalian ingin membuat tabung dari kertas yang ukurannya tepat sama dengan ukuran benda tersebut, berapakah luas kertas yang kalian perlukan? Untuk menjawabnya, pelajari uraian materi berikut.

a. Luas Selimut
Dengan memerhatikan gambar 2.3, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh permukaan tabung atau luas sisi tabung merupakan jumlah dari luas alas ditambah luas selimut dan luas atap. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar jaring-jaring tabung sekali lagi.

Sehingga kita dapatkan rumus:

b. Volume Tabung
Tabung merupakan pendekatan dari prisma segi-n, dimana n mendekati tak hingga. Artinya, jika rusuk-rusuk pada alas prisma diperbanyak maka akan membentuk sebuah tabung dimana hanya mendekati satu bidang alas, satu bidang atas dan satu sisi tegak. Karena alas dan tutup tabung berbentuk lingkaran maka volume tabung adalah perkalian luas daerah lingkaran alas dengan tinggi tabung.

B. Kerucut

1. Unsur-unsur Kerucut dan Melukis Jaring-jaring Kerucut

Perhatikan gambar di samping. Pernahkan kalian melihat bangunan ini? Jika kita cermati bentuknya, bangunan tersebut merupakan refleksi dari bangun ruang dengan sisi lengkung yaitu kerucut.

a. Unsur-unsur Kerucut
Untuk lebih memahami unsur-unsur kerucut, dapat kita ilustrasikan seperti pada gambar 2.5 berikut.

Dengan mengamati gambar tersebut, kita dapat mengetahui unsur-unsur kerucut dengan melengkapi pernyataan berikut.
1) Tinggi kerucut = ….
2) Jari-jari alas kerucut = ….
3) Diameter alas kerucut = ….
4) Apotema atau garis pelukis = ….

b. Jaring-jaring Kerucut
Berdasarkan kegiatan dan gambar di atas kita ketahui bahwa kerucut tersusun dari dua bangun datar, yaitu lingkaran sebagai alas dan selimut yang berupa bidang lengkung (juring lingkaran). Kedua bangun datar yang menyusun kerucut tersebut disebut jaring-jaring kerucut. Perhatikan gambar berikut.

Gambar 2.6(a) menunjukkan kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r, tinggi kerucut t, apotema atau garis pelukis s. Terlihat bahwa jaring-jaring kerucut terdiri atas dua buah bidang datar yang ditunjukkan gambar 2.6 (b) yaitu:
a. selimut kerucut yang berupa juring lingkaran dengan jari-jari s dan panjang busur 2πr,
b. alas yang berupa lingkaran dengan jari-jari r.

2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Kerucut

Dapatkah kalian menghitung luas bahan yang diperlukan untuk membuat kerucut dengan ukuran tertentu? Perhatikan uraian berikut.

a. Luas Selimut
Dengan memerhatikan gambar, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh permukaan kerucut atau luas sisi kerucut merupakan jumlah dari luas juring ditambah luas alas yang berbentuk lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan jaring-jaring kerucut ini.

Jadi luas juring TAA₁ atau luas selimut kerucut dapat ditentukan.

Karena luas selimut kerucut sama dengan luas juring TAA₁ maka kita dapatkan:

Sedangkan luas permukaan kerucut

= luas selimut + luas alas kerucut
= πrs + πr²
= πr (s + r)
Jadi

dengan r = jari-jari lingkaran alas kerucut
           s = garis pelukis (apotema)

b. Volume Kerucut
Kerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnya berbentuk lingkaran. Oleh karena itu kita dapat merumuskan volume kerucut sebagai berikut.

Hubungan antara r, t dan apotema (s) adalah s² = r² + t²

Berkas:Bangun Ruang SS Lengkung 19.jpg

c. Luas Selimut dan Volume Kerucut Terpancung

1) Luas selimut
Luas selimut kerucut terpancung adalah luas kerucut besar dikurangi luas selimut kerucut kecil. Kerucut besar ACC' mempunyai tinggi t₁, jari-jari r, dan apotema s₁. Sedangkan kerucut kecil ABB' mempunyai tinggi t², jari-jari r², dan apotema s². Luas selimut kerucut terpancung adalah luas selimut kerucut besar dikurangi luas selimut kecil.

C. Bola

Perhatikan gambar di samping. Mengapa dalam olahraga bowling, benda yang dilemparkan berbentuk bola? Apakah kelebihannya sehingga benda-benda berbentuk bola digunakan dalam olahraga sepak bola, bola voli, bowling, dan billiard? Agar dapat lebih mengenal bangun bola, pelajarilah materi berikut ini.

1. Unsur-unsur Bola

Perhatikan gambar berikut.

Suatu lingkaran diputar setengah putaran dengan diameter sebagai sumbu putarnya akan diperoleh bangun ruang seperti gambar 2.10 (b). Bentuk bangun yang demikian disebut bola dengan jari-jari bola r dan tinggi d.

2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Bola

Sebelum mempelajari luas selimut dan volume bola, lakukanlah kegiatan berikut.

Ternyata dari kegiatan di atas kita dapat merumuskan luas selimut atau permukaan (sisi) bola. Jika jari-jari alas tabung tersebut r dan tingginya sama dengan diameter d, maka luas selimut atau sisi bola dengan jari-jari r adalah:

D. Hubungan Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung dengan Jari-jari

Pada rumus mencari volume bangun ruang sisi lengkung, semua tergantung pada unsur-unsur bangun tersebut, misalnya jari-jari dan tinggi bangun tersebut.

1. Perbandingan Volume Tabung, Kerucut, dan Bola karena Perubahan Jari-jari

a. Perbandingan Volume Tabung
Apabila ada dua buah tabung dengan tinggi yang sama, tetapi jari-jari berbeda, maka perbandingan kedua volume tabung sama dengan perbandingan kuadrat masing-masing jari-jarinya.

b. Perbandingan Volume pada Kerucut
Apabila ada dua buah kerucut dengan tinggi sama, tetapi jari-jari alasnya berbeda, maka perbandingan volume kedua kerucut dengan perbandingan kuadrat masing-masing jari-jarinya.

c. Perbandingan Volume pada Bola
Apabila ada dua buah bola dengan jari-jari yang berbeda, maka perbandingan volumenya sama dengan perbandingan di pangkat tiga dan masing-masing jari-jarinya.

2. Selisih Volume Tabung, Kerucut, dan Bola karena Perubahan Jari-jari

a. Selisih Volume pada Tabung
Sebuah tabung dengan jari-jari lingkaran alas r₁ dan tinggi t diperbesar sehingga jari-jari lingkaran alas menjadi r₂ dengan r₂ > r₁ dan tinggi tetap. Maka berlaku:

b. Selisih Volume pada Kerucut
Sebuah kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r₁ dan tinggi t diperbesar sehingga jari-jari lingkaran alas menjadi r₂ dengan r₂ > r1 dan tinggi tetap. Berlaku:

Jadi selisih volumenya:

dengan r₁ = jari- jari awal r₂ = jari-jari setelah diperbesar Bagaimana jika jari-jari kerucut diperpanjang sebesar k satuan? Ternyata berlaku r₂ = r₁ + k, sehingga:

c. Selisih Volume pada Bola
Sebuah bola dengan jari-jari r₁ diperbesar sehingga jarijarinya menjadi r₂ dengan r₂ > r₁. Berlaku:

Jadi selisih volumenya:

dengan r₁ = jari-jari awal, r₂ = jari-jari setelah diperbesar
Bagaimana jika jari-jari bola diperpanjang sebesar k satuan? Ternyata berlaku r₂ = r₁ + k, sehingga: