Modul Matematika SMA Kelas 10

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

Oleh: Asep Yana Komarudin,M.Pd (SMAN 1 Kota Sukabumi)

A.   Pendahuluan

Modul ini terbagi atas tiga kegiatan belajar.  Kegiatan belajar I, membahas tentang bentuk pangkat bilangan negatif.  Pada kegiatan belajar II akan dipelajari tentang bentuk akar dan pangkat pecahan, hubungan bentuk akar dan pangkat pecahan,hubungan bentuk akar dan pangkat pecahan beserta sifat-sifatnya, menyederhanakan bentuk akar, operasi aljabar pada bentuk akar dan merasionalkan penyebut.  Pada kegiatan belajar III membahas tentang logaritma, pengertian logaritma dan sifat-sifat logaritma.  Dalam mempelajari modul ini siapkan buku penunjang:

a.         Osdirwan Osman, Drs.,M.Si. 2007. Matematika SMA 1A,cetakan pertama.Penerbit Arya Duta.

b.         Tim penyusun. 2005. Matematika untuk SMA 1A, Penerbit IntanPariwara.

B.   Pokok Bahasan

Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma.

C.   Standar Kompetensi

Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma.

D.   Kompetensi Dasar

1.   Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma

2.   Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan pangkat, akar, dan     logaritma.

E.   Waktu

Untuk mempelajari modul ini diperlukan waktu 18 x 45”.

F.    Jumlah Kegiatan

Modul ini berisi tiga pokok kegiatan belajar yaitu kegiatan belajar I, kegiatan belajar II dan kegiatan belajar III .

G.  Petunjuk Belajar

1. Siapkan buku penunjang seperti disebut di atas.

2. Pelajari dengan seksama modul ini bila perlu siapkan alat tulis untuk membuat catatan tersendiri    (bila diperlukan).

3. Bila anda telah menguasai modul ini dengan baik, kerjakan latihan beserta tugasnya.

4. Jika anada menemukan kesulitan dalam mempelajari modul ini, tanyakan pada teman dan  diskusikan      atau tanyakan pada Bapak/Ibu guru.

H.  Indikator Pencapaian hasil belajar

1.  Siswa dapat mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya.

      2.  Siswa dapat mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya.       

      3.  Siswa dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkat, dan akar.

      4.  Siswa dapat merasionalkan bentuk akar.

      5.  Siswa dapat mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya.

      6.  Siswa dapat melakukan operasi aljabar dalam bentuk logaritma.

      7.  Siswa dapat menentukan syarat perpangkatan, penarikan akar dan logaritma

      8.  Siswa dapat membuktikan sifat-sifat sederhana tentang bentuk pangkat, akar, dan logaritma.

   

KEGIATAN BELAJAR I

PANGKAT BILANGAN NEGATIF

Kalian telah mengenal arti pangkat bulat positif pada suatu bilangan real.  Selanjutnya akan diperluas pengertian pangkat untuk bilangan bulat, yaitu pangkat positif, pangkat nol, dan pangkat negatif.

Bagaimana arti pangkat bulat positif ?

Jika a € R dan n € bilangan bulat positif, maka a pangkat n atau pangkat n dari a ditulis aⁿ yaitu:

Aⁿ = a x a x a x ....x a,      n buah faktor

A disebut bilangan pokok atau basis dan n disebut pangkat eksponen.  Untuk n = 1, maka a¹ = a

Sifat-sifat bilangan pangkat positif;

Jika m, n  € A dan a  €   R, maka:

1. a^m x aⁿ  =  a ^m+n                                                           
2. a^m : aⁿ  =  a^m-n, m>n
3. (a^m)ⁿ  =  a^mxn 
4. (a x b)ⁿ  =  aⁿ x bⁿ
5. (a : b)ⁿ  =  aⁿ  :  bⁿ

Pembuktian  Sifat-sifat bilangan pangkat positif

No.	Sifat-sifat	Bukti	Contoh
1.	am x an  =  a m+n	am x an  = (a x a x a x…x a) x (a x a x a x…x a)                        m faktor                  n factor              = a x a x a x a x a ……x a                            (m + n) faktor              = am+n	a.  23 x 25 = 23+5=28 b.  a4 x a5 = a4+5 = a9 c.  (2x + 3)2 (2x + 3)3      = (2x + 3)2+3      = (2x + 3)5
2.	am : an  =  am-n, m>n	am             am-n+n                am-n . an                      an         an      =          an              =          an          =  am-n  .  an   = am-n . 1                                                                      = am-n	a.  36 – 34 = 36-4 = 32 b.  (a-1)5      (a-1)2    = (a-1)3
3.	(am)n  =  amxn	(am)n  = am x am x am x …(am)                  n faktor = (a x a x …) x (a x a x …x…x(a x a x …)     m faktor                                  m faktor                              n faktor = a x a x a x a x a = ...  ...  ... x a                (m x n ) faktor = (a)mn	a. (23)4 = (2)3x4= 212 b. (x2)3 = (x)2x3 = x6
4.	(a x b)n  =  an x bn	(a x b)n  = (a x b) x (a x b) x….x (axb)                                n factor              = (a x a x …x a) x (b x b x … x b)                         n faktor              n faktor              = an x bn	a. (2 x 3)4 = 24 x 34 b.(a2 x b3)4 =a8 x b12
5.	( a  )n  =    an        b             bn	( a  )n  =    a/b x a/b x a/b x …x a/b      b                       n faktor            =    a x  a x a x … x a ,    n faktor                   b x b x b x … x b ,   n factor            =     an                   bn	( 2/3)2  =  22/32 (a/b)3  =  a3/b3 (a2/b3)4=a8/b12

Bagaimana Arti Pangkat Nol  dan Bulat negatif ?

Setelah mempelajari bentuk pangkat bulat posistif beserta sifat-sifatnya, sekarang kita akan mempelajari bentuk pangkat bulat lainnya yaitu bentuk pangkat bulat nol dan negatif .  Bentuk pangkat nol dan negatif dikembangkan dari pengertian bentuk pangkat bulat positif.

Pengertian Pangkat Nol

Untuk setiap a € R, maka   a^o = 1  (o^o tidak didefinisikan)

Gunakan sifat-sifat bilangan pangkat bulat positif, untuk membuktikan alasan pendefinisian.

a^o . aⁿ  =  a^o+n  =  aⁿ    bagilah kedua ruas dengan aⁿ sehingga diperoleh:     a^o+n  =  aⁿ    

                                                                                                                      aⁿ         aⁿ

                          

                                    a^o . aⁿ   =  aⁿ   

                                          aⁿ        aⁿ

                                    a^o (1)  =  1

                                    a^o       =  1

Pengertian pangkat bulat negatif

Jika a € R , a ≠ 0 dan  n € bilangan positif, maka   a^-n .   1   =  1   dan   a^-n  =   1

                                                                                        a^-n                              aⁿ     

dari definisi di atas dapat kita tunjukkan, dengan menggunakan sifat bentuk pangkat bulat positif dan nol yaitu sebagai berikut:

aⁿ . a^-n  =  a^n+(-n)

            aⁿ . a^-n  =  a^o

          aⁿ . a^-n  =  1

bagilah kedua ruas dengan aⁿ , sehingga diperoleh:

aⁿ . a^-n   =   1      →     aⁿ   . a^-n   =   1    →   1  .  a^-n   =   1    →   a^-n  =  1 

   aⁿ           aⁿ               aⁿ                 aⁿ                             aⁿ                    aⁿ

Contoh

1.         Tulislah dalam bentuk pangkat bulat positif !

a.         3^-2 

b.         (0,2)^-3

c.         (x + y)^-3

d.         (2a – 5b)^-4

            Jawab:

a.  3^-2 =    1                  b.  (0,2)^-3 =       1                     c.  (x + y)^-3 =             1                                 

                             3²                                       (0,2)³                                         (x + y)³

               

d.  (2a – 5b)^-4 =                1

                                                 (2a – 5b)⁴

1.         Berikan sebuah contoh bahwa pernyataan-pernyataan berikut salah !

ab^-n  =  1                            b.           1         =  a^-1  +  b^-1

       abⁿ                                   a  +  b

Jawab:

a.         2 . 3^-2  =   2                    dan            1         =        1       =    1

                             3²                                   2.3²              2. 9          18

                        =   2

                              9

Jadi      2 . 3^-2   ≠        1      

                          2.3²

                                                              

b.     1        =   1                                    2^-1  +  4^-1  =  ½  +  ¼  

     2 + 4          6                    dan                            =  ¾

Jadi  .  1          ≠    2^-1  +  4^-1   

        2 + 4                  

           

RANGKUMAN

1.   Jika a  bilangan real dan n  bilangan bulat posotif, maka a pangkat n atau   pangkat n dari a      ditulis  aⁿ  yaitu:  aⁿ = a x a x a x ... x a  yang terdiri dari n buah faktor.

a disebut bilangan pokok/basis dan n disebut pangkat/eksponen.

2.   Sifat-sifat bilangan pangkat positif;

Jika m, n  € A dan a  €   R, maka:

a^m x aⁿ  =  a ^m+n                                                           

a^m : aⁿ  =  a^m-n, m>n

(a^m)ⁿ  =  a^mxn 

(a x b)ⁿ  =  aⁿ x bⁿ

(a : b)ⁿ  =  aⁿ  :  bⁿ

3.   Untuk setiap a € bilangan real, maka  a⁰ = 1

0⁰ tidak didefinisikan

4.   Jika a € bilangan real,  a ≠ 0  dan  n € bilangan positif, maka

a^-n.  1   = 1   dan       a^-n  =  1

    a^-n                                  aⁿ

TES KEGIATAN BELAJAR 1

Untuk mengetahui pemahaman anda terhadap kegiatan belajar 1, silahkan kerjakan soal-soal di bawah ini !

1.         Dengan menggunakan sifat a^m . aⁿ = a ^{m+ n}, sederhanakanlah bentuk berikut !

a.  (0,25)³ (0,25)⁴                                 b.  3x y⁴ x² y⁶              c.  (2x²) (3x³) (4x⁴)

2.         Dengan menggunakan sifat (a^m)ⁿ = a^mn, sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ¡

a. (2³)⁴                                                  b.  z³ (z²)³                    c.  3x² (x²)² (x³)³

3.         Dengan menggunakan sifat ( a . b)ⁿ = aⁿ . bⁿ,    sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut !

a.  (2 . 5)⁴                                             b.  (4 a²)³                     c.  (m³ . n⁴)⁵

4.         Dengan menggunakan sifat      ( a  )ⁿ  =    aⁿ                   

                                                            b             bⁿ  

            Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut !

                   a.  ( 3/2)⁴                                       b.  (x²/y³)²                    c. (ab²/c³d³)²

5.         Berikan sebuah contoh untuk menunjukkan bahwa pernyataan-pernyataan berikut salah !

a.                  a^m x aⁿ  =  a ^m+n

b.                 (a^m)ⁿ  =  a^mxn 

  ( a  )ⁿ  =    aⁿ    

c.                      b            bⁿ

6.         Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut ke dalam pangkat bulat positif !

                    a.  (x . y^-5)(x . y)^-5                                    b.  (2ab²)^-3 (3a²b)^-2    

7.         Dengan menggunakan sifat a^m : aⁿ =  a^m-n  sederhanakanlah bentuk berikut:

             a.        a^-3                                     b.       4p^-2 q^-5

                        a^-5                                        2p^-7 q^-2

KUNCI JAWABAN

1.       a.  (0,25)⁷                       b.  3x³y¹⁰                     c.  12x⁹

2.       a.  2¹²                             b.  z⁹                            c.  3x¹⁵

3.       a.  2⁴.5⁴                          b.  64a⁶                        c.  m¹⁵ n²⁰

4.       a.  81/16                                    b.  x⁴                            c.  a² . b⁴

                                                    Y⁶                                c⁶ d⁶

5.       Kebijakan guru

6.        a.      ___1___                               b.                  1       

                     X⁴ . y¹⁰                                                               72 a⁶ b⁸

7.       a.     a²                                       b.  2p⁵

                                                          Q³

KEGIATAN BELAJAR 2

                                           BENTUK AKAR

Pada materi sebelumnya, anda telah mempelajari tentang bilangan berpangkat bulat beserta operasinya.  Selanjutnya, pengertian bilangan berpangkat akan diperluas sampai bilangan berpangkat rasional, yaitu bilangan berpangkat bulat berpangkat pecahan.

Pengertian bilangan rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b, perbandingan dua bilangan bulat a dan b dengan b 0 (ditulis  a/b) atau sebagai bentuk desimal yang berakhir/berulang secara periodik.

Contoh:

Nyatakan bilangan-bilangan berikut sebagai perbandingan dua bilangan bulat !

a.  6                       b.  -30              c.  25%            d.  0,4              e.  √4

Jawab:

a.  6 = 12               b.  -90  .             

            2                         3

c.  2 5   =   ¼         d.  0,4  =   4           

    100                                      10

e.  √4 = 2 = 2/1

A.  Hubungan Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan Beserta Sifat-sifatnya.

Perhatikan beberapa contoh berikut !

2² = 4  maka  2 = √4

2³ = 8  maka 2  =  ³√8

2⁴ = 16  maka  2  =  ⁴√16

2⁵  =  32  maka 2  =  ⁵√32

Untuk n bilangan bulat dan n ≥ 2 berlaku hubungan  a^1/n  =  ⁿ√a

Pangkat bilangan pecahan merupakan perluasan dari pangkat bilangan bulat.  Mengakibatkan sifat-sifat pangkat bilangan bulat berlaku pada pangkat bilangan pecahan atau bentuk akar.  Jika a dan b bilangan real positif serta m dan n bilangan bulat positif lebih dari atau sama dengan 2, maka berlaku sifat-sifat berikut:

            Bentuk Pangkat Pecahan                                                          Bentuk Akar

                                              

1. a^1/m  x  a^1/n  =  a^{1/m + 1/n} = a ^n+m                       ↔                    ^m√a  x  ⁿ√a  =  ^mn√a^{n + m}                              

                                                 ^mn

2. a^1/m  :  a^1/n  =  a^1/m-1/n  =  a^n-m                                     ↔                  ^m√a  :  ⁿ√a  =  ^mn√a^{n - m}  

                                                                       ^mn

3.    (a^1/m)^1/n  =  a^1/m x ^1/n  =  a^1/mn                         ↔                    ⁿ√a . ^m√a  =  ^mn√a

4.   (ab)^1/n  =  a^1/n  x  b^1/n                                       ↔                    ⁿ√ab  =  ⁿ√a  x  ⁿ√b

5. (a/b)^1/n  =  a^1/n                                                                             

                       b^1/n                                                            ↔                   ⁿ√a/b  =  ⁿ√a

                                                                                                                   ⁿ√b

__________________________________________________________________________________

Sifat-sifat yang lain:                                                                                

6. a^-1/n  =  ( a^1/n)^-1  =   1      =     1                   

                                   a^{1/n               n}√a   

      

                            

7. a^m/n  =    (a^1/n )^m  =   ( ⁿ√a)^m     atau

a^m/n  =  (a^m)^1/n  =   ⁿ√a^m

      8.    ( √x )²  =  x                

      9.    √x y     =  √x  .  √y

      10.   √x/y    =  √x/√y

Contoh;

1.   Diketahui a bilangan positif, sederhankanlah bentuk-bentuk  berikut kemudian nyatakan ke dalam          bentuk akar ¡

a.  a^½  x  a^⅓                                                                              b.  ( a ^⅔)^¾

\Jawab:                                                             Jawab:

a^½  x  a^⅓  =  a^½+⅓    = a^7/12  =  ¹²√a⁷                          ( a ^⅔)^¾  = a^{⅔ x ¾} = a^½   = √a 

c    a^¾

      a^⅔

Jawab:

  a^¾ 

  a^⅔        =  a^{¾ - ⅔} = a¹/¹²  =  ¹²√a

2.   Jika diketahui a, b, dan c bilangan positif, maka sederhanakanlah bentuk berikut ¡      

                                  ¼

                a³ b^-2

         __________    

                a^-1 b²

      

      Jawab

                                 ¼

                a³ b^-2

         __________     =  (a^{3 – (-1)} b^-2-2)^¼   =  (a⁴ b^-4)^¼  =  ab^-1  = a/b

                a^-1 b²

B.   Menyederhanakan Bentuk Akar Kuadrat

Menyederhanakan bentuk akar kuadrat dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat bentuk akar.  Sifat-sifat tersebut dapat dibuktikan dengan pengertian dasar bentuk akar kuadrat.

Sifat-sifat Bentuk Akar Kuadrat

NO.	Sifat-sifat	Bukti	Contoh
1.	(√x)2 = x	√x = a   ↔   x = a2 Maka (√x)2  =  (a)2  =  x	a.  (√5)2  =  5 b.  (√2a)2  =  2a c.  (√x + 1)2  =  x  + 2√x  + 1
2.	√xy = √x . √y	√x  =  a   ↔   x = a2 dan √y = b   ↔   y = b2,  maka √xy  =  √a2 . b2          =  √(ab)2  =  a b = √x  . √y	√48 = √16 x3  =  √16 x √3                         =   4√3 4√150  =  4√25 x 6              = 4 √25 x √6              = 4 (5) x √6              = 20√6
3.	√x/y = √x             √y	√x = a Jika dan hanya jika  x = a2 √y = b Jika dan hanya jika y = b2 Maka, √x/y = √a2/b2  =  √(a/b)2                             =  a   =  √x                              b      √y	√64/49 = √64   =    8                 √49         7
4.	n√an  =  (an)1/n  =  a , a ≥0	Silahkan buktikan Sebagai latihan!	3√8 = (8)⅓           = (23)⅓           =  23/3  =  1
5.	n√an b = n√an x n√b            = a n√b, A dan b ≥0	Silahkan buktikan Sebagai latihan!	√72 = √36 x 2 = √36 x √2                         = (62)1/2 x  √2                         =  6 √2

C.  Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar Kuadrat

Dengan menggunakan sifat pada bilangan real, pengertian bentuk akar dan sifat-sifatnya maka kita dapat melakukan operasi aljabar pada bentuk akar.  Operasi aljabar yang dimaksud adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.  Operasi aljabar pada bentuk akar digunakan untuk menyederhanakan bentuk akar.

1.  Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar

Jika a , b, dan c anggota bilangan real, maka  a√c  +  b√c  =  (a+b)√c

                                                                                    dan

                                                                          a√c  -  b√c  =  (a-b)√c

Pembuktian sifat penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan/pengurangan bilangan real.  Sifat ini berlaku pada bilangan rasional atau  irracional sebab kedua bilangan itu termasuk bilangan real.

a√c  +  b√c  =  (a+b)√c   (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan)

a√c   -  b√c  =   (a-b)√c   (sifat distributif perkalian terhadap pengurangan)

Rumus-rumus yang dapat digunakan pada operasi aljabar adalah sebagai berikut:

1.  a√c  +  b√c  =  (a+b)√c

2.  a√c   -  b√c  =   (a-b)√c

3.  b ⁿ√ a  x  d ⁿ√ c  =  bd ⁿ √ac

4.  b ⁿ√ a  :  d ⁿ√ c  =  b/d ⁿ √a/c

ⁿ√ a  dan  ⁿ√ c  ada nilainya dan n bilangan bulat positif lebih dari satu atau sama dengan dua.

Contoh

Sederhanakanlah bentuk akar berikut ¡

1.  10 √3  +  2 √3  -  5 √3

2.  4 √72  +  3 √50 - 2√18

3.  p √a  -  q √a  +  r √a

4.  2 √4  x  6 √3 

5.  10 √32  :  2 √2

Jawab

1.  10 √3  +  2 √3  -  5 √3    =  (10+2+5)√3  = 17 √3

2.   4 √72  +  3 √50 - 2√18  =  4 √36 x 2  +  3 √25 x 2 – 2 √9 x 2  =  4(6) √2 +  3(5) √2  - 2(3)√2 

                                                                                                        =  24√2  +  15√2  -  6 √2

                                                                                                        =  (24+15-6) √2   =  33 √2

3.  p √a  -  q √a  +  r √a  =  (p – q + r) √a 

4.  2 √4  x  6 √3  =  (2 x 6)√12  =  12 √4 x 3  =  (12 x 2) √3  =  24 √3 

5.  10 √32  :  2 √2  =  (10/2) √32/2  =  5 √16  =  5(4)  =  20

2.  Perkalian Bentuk Akar 

Operasi Perkalian bentuk akar

Jika x ,  y anggota bilangan real positif, maka:

                    √ x  . √y  =  √xy

Contoh

Sederhanakanlah !

1.  √50  x  √2               2.  √32  x  √12,5          3.  √½  x  √50              4.  √2  x  √5  x  √10

Jawab 

1.    √50  x  √2  = √(50 x 2)  =  √100  =  10                2.   √32  x  √12,5  =  √(32 x 12,5)  =  √400  =  20

3.   √½  x  √50  =  √(½ x 50)  =  √25  =  5                  4.  √2  x  √5  x  √10 =  √(2 x 5 x 10) = √100  =  10

3.  Pembagian Bentuk Akar

Operasi Pembagian Bentuk Akar

Jika x , y anggota bilangan real positif, maka    √x/y   =   √x

                                                                                            √y

Contoh

Sederhanakanlah !

1. √108                        2.  √112,5                    3.  √12a²                                  4.  √xy⁴

     √27                              √12,5                           √3a²                                          √x³y²

Jawab     

1. √108                        2.  √112,5                    3.  √12a²                                  4.  √xy⁴

     √27                              √12,5                           √3a²                                          √x³y²

    = √108/27                      =  √(112,5/12,5)          =  √12/3 a²                        =  √y²/x²

    = √4                               =  √9                            =  √4 a²                        =  √y²      =  y

    = 2                                 =  3                              =  2ª                                √x²             x

D.  Merasionalkan Penyebut

Jika kita menemukan bentuk pecahan dengan penyebut bentuk akar, maka untuk menyederhanakan bentuk pecahan tersebut kita dapat menghilangkan bentuk akar penyebutnya.  Proses menghilangkan bentuk akar pada penyebut dinamakan merasionalkan penyebut.

Untuk merasionalkan penyebut kita harus mengalikan pembilang dan penyebut dengan pecahan faktor yang sama yang dapat merasionalkan penyebut.  Untuk memudahkan bagaimana cara merasionalkan penyebut, anda pahami dulu hal-hal berikut:

1.   √a  x  √a                                        akan menghasilkan bilangan rasional              a

2.  ( a  +  √b)  x    ( a  -  √b)     akan menghasilkan bilangan rasional             a²  -  b

3.  (√a  +  √b)  x   (√a  - √b)     akan menghasilkan bilangan rasional             a  -  b

Pembuktian:

1.   √a  x  √a  =  √a²  = a

2.    ( a  +  √b)  x    ( a  -  √b) =  a² – a √b  + a √b  - (√b)²  =  a²  -  b

3     (√a  +  √b)  x   (√a  - √b) =  (√a )² - √a . √b  +  √a . √b -  (√b)²  =  a – b

Contoh:

Sederhanakanlah bentuk-bentuk akar berikut!

1.  √5 . √5                    2.  (√8  +  √2) (√8  -  √2 )                    3.  (2 + √3) (2 - √3)

4.   (2√3 + 3√5) (2√3 - 3√5)

Jawab:  

1.  √5 . √5 =  5                        2.  (√8  +  √2) (√8  -  √2 ) = 8 – 2 = 6

3.  (2 + √3) (2 - √3) = 4 – 3 = 1                       4.   (2√3 + 3√5) (2√3 - 3√5) = 12 – 45 = -33

Bagaimanakah cara merasionalkan penyebut?

1.   Kalikan pecahan yang dimaksud dengan bilangan 1 (satu).

2.  Angka satu tersebut kita tulis sebagai pembanding faktor bentuk akar yang sama, yang dapat merasionalkan  penyebut.

Perhatikan bentuk-bentuk berikut!

1.    a   =        a     .  1                                                       2.   √a  .  √b    =    1  √ab

      √b           √b                                                                     √b     √b          b     

            =        a   .  √b   =   a  √b                         

                     √b     √b        b

3.    ____a___   =    ____a___   .1                          4.            ____a___  =      ____a___  .  1

                                                                                                 √b  -  √c            √b  -  √c  

         √b  +  √c          √b  +  √c

                                                                                                                 =       ____a___ .  √b  +  √c  

                          =     ____a___  . √b  -  √c                                                         √b  -  √c     √b  +  √c  

                                  √b  +  √c     √b  -  √c                                              =        ____a___  (  √b  +  √c ) 

                                                                                                                                 b - c

                          =      ____a___  (√b  -  √c )                                                         

                                       b  -  c

5.   √a  -  √b       =    √a  -  √b  .  1

      √a  + √b              √a +  √b

                           =     √a  -  √b   .     √a -  √b

                                   √a +  √b        √a -  √b

                           =     a + b -  2√ab

                                       a  -  b

Contoh 1

Rasionalkan penyebut bentuk pecahan berikut !

a.    √3                    b    5                  c              6              d .           5          e.                  6           

      √4                         √7                         6 + √6                     5 -  √5                  √5  +  √2

f.                    6       g.       √8   -   √2             h.   √6   +   √2             

          √6  -  √2                  √8  +  √2                    √6   -  √2

Jawab

a.    √3   .    √4    =       √12   =    2  √3  =  1    √3                                 

       √4        √4                4           4            2

b    5  .      √7   =      5   √7                                            

    √7         √7           7                  

c.            6   .    6 - √6     =        6    ( 6 -  √6 )  =       6    ( 6 -  √6 )  =  1 ( 6 -  √6 )                                                        

      6 + √6        6 - √6          36 - 6                             30                       5                  

d .           5   .    5 +  √5    =      5     (5 +  √5)  =       5     (5 +  √5)  =      1    (5 +  √5)                                                        

       5 -  √5        5 +  √5             25 - 5                      20                           4

e.                6   .  √5  -  √2   =          6      (  √5  -  √2  ) =     6    (  √5  -  √2  )  =  2  (  √5  -  √2  )     

      √5  +  √2      √5  -  √2             5 - 2                                3

f.             6  .  √6  +  √2  =          6     (√6  +  √2)  =     6    (√6  +  √2)  =  2  (√6  +  √2)                              

     √6  -  √2     √6  +  √2          6  -  2                           3

g.  √8   -   √2   .    √8  -   √2  =     8 -4-4+2 =  2    =  1              

     √8  +   √2         √8  -   √2         8   -  2        6        3

h.   √6   +   √2  .   √6    +   √2   = 6   +  2   =  10  =  5

      √6    -   √2      √6    +   √2       6   -  2        4        2

Contoh 2

Diketahui kubus ABCD.EFGH seperti gambar di bawah ini

           H                             G

     E                        F                               Hitung panjang AG ¡     

                            

                   

                   D                     C

                       

       A                        B         

            (√7 - √2) cm

Jawab

AG adalah panjang diagonal ruang

AG = a √3  =  (√7 - √2) √3 =  √21 - √6 

Jadi panjang AG =  (√21 - √6) cm

RANGKUMAN

1.  Bentuk akar hádala bentuk bilangan-bilangan di bawah tanda akar bila ditarik akarnya tidak dapat menghasilkan bilangan rasional.

Misal   √2, √3, √5  adalah bentuk akar  dan  √4, √9, √16  adalah bukan bentuk akar.

2.  Oprasi Aljabar pada bentuk akar

a.  a√c  +  b√c  =  (a+b)√c

b.  a√c   -  b√c  =   (a-b)√c

c.  b ⁿ√ a  x  d ⁿ√ c  =  bd ⁿ √ac

d.  b ⁿ√ a  :  d ⁿ√ c  =  b/d ⁿ √a/c

e.  √ a  dan  ⁿ√ c  ada nilainya dan n bilangan bulat positif lebih dari satu atau sama dengan dua.

3.  Merasionalkan Penyebut

1.    a   = 1                                                              2.   √a  .  √b    =    1  √ab

      √b                                                                           √b     √b          b     

            =        a   .  √b   =   a  √b                         

                     √b       √b        b

3.    ____a___   =    ____a___     .1                          4.            ____a___  =      ____a___  .  1

                                                                                                  √b  -  √c            √b  -  √c  

         √b  +  √c          √b  +  √c

                                                                                                                 =       ____a___ .  √b  +  √c  

                          =     ____a___  . √b  -  √c                                                         √b  -  √c     √b  +  √c  

                                  √b  +  √c     √b  -  √c                                              =        ____a___  (  √b  +  √c ) 

                                                                                                                                 b - c

                          =      ____a___  (√b  -  √c )                                                         

                                       b  -  c

5.   √a  -  √b       =    √a  -  √b  .  1

      √a  + √b              √a +  √b

                           =     √a  -  √b   .     √a -  √b

                                   √a +  √b        √a -  √b

                           =     a + b -  2√ab

                                       a  -  b

TES KEGIATAN BELAJAR 2

Kerjakan Soal-soal di bawah ini dengan benar !

1.  Sederhanakan bentuk-bentuk akar di bawah ini !

     a.  √48                                            b.  √1/75

2.  Sederhanakan bentuk berikut !

     a.    5√3  +  √12  -  2√27                b.  4√3  x  3√6

3.  Rasionalkan bentuk-bentuk berikut!

     a.          3                            b.           √6                  c             5                   d.  √3  +  √2    

           2 - √3                                 2√3 + 3√2                        √7  +  √2                √3  -   √2

     e.  2√3  +  3

          2√3  -   3

4.   Diketahui Segitiga ABC siku-siku di B.  Jika panjang sisi AB = (√5 + √3) cm  dan luas segitiga    tersebut adalah 1,00 cm²  .  Tentukan panjang sisi lainnya! 

5.   Sebuah balok panjang rusuknya masing-masing 3 cm, 6 cm, dan 9 cm.  Tentukan panjang diagonal ruang balok tersebut!

Kunci

1.      a.  4√3                            b.   1 √3

                                                      5

2.      a.   √3                             b.   36√2

3.      a.   9                               b. √3  -   √2                 c.   √7  -  √2                 d.  7 +  2√6

         e.    7  +  4√3

4.       (√5 - √3) cm                  5.    3√14  cm.

KEGIATAN BELAJAR 3

LOGARITMA

1.   Pengertian Logaritma

Pada sub pokok bahasan ini, anda akan mempelajari kebalikan dari perpangkatan.  Bentuk aⁿ dikenal sebagai bilangan berpangkat.  a disebut basis dan n disebut pangkat atau eksponen.  Jika nilai a dan n diketahui, maka nilai b = aⁿ  dapat dihitung dan b disebut numerus.  Sebaliknya, bagaimana cara menentukan nilai n apabila yang diketahui nilai a dan b ?.silakan anda pahami bentuk kesamaan

2⁴ = 16,  didapat bahwa 4 adalah bilangan n yang diperlukan agar bilangan berpangkat 2ⁿ = 16. 

4 disebut logaritma dari 16 berbasis 2 dan ditulis 4 = ²log 16.

Dengan demikian secara umum Logaritma dapat didefinisikan sebagai berikut:

^alog b = c  ↔  a^c = b,  dengan syarat a ≠ 1  dan  a, b > 0

a disebut bilangan pokok (basis) logaritma

Apabila dalam penulisan logaritma tidak dicantumkan bilangan pokoknya, maka dianggap bilangan pokoknya adalah 10.

Contoh:          

¹⁰log 10 = log 10 = 1               dan ¹⁰log 100 = log 100 = 2

Untuk memahami, Perhatikan hubungan bentuk logaritma dan bentuk pecahan dari tabel dibawah ini!

NO.	Bentuk Logaritma	Bentuk Pecahan	Hasil
1	4log 8 = a	4a = 8	a = 3/2
2	3log 27 = b	3b = 27	a = 3
3	2log 1   = c        64	2c = 1/64	c = -6
4	3log 3√3 = d	3d = 3 3	d = 3/2
5	5log 3√ 5 = e	5e = 3 5	e = 1/5
6	⅓ Log 81 = f	(⅓)f = 81	f = -4
7	1000log √10 = g	1000g =  10	g = 1/6
8	1/49 log 1/ 7 = h	(1/49)h = 1/7	H = ¼

2.   Sifat-sifat Logaritma

Setelah anda memahami definisi logaritma suatu bilangan, selanjutnya akan dipelajari sifat-sifat yang berlaku pada logaritma.  Berikut ini adalah langkah-langkah menemukan sifat dasar logaritma.

2.1       Logaritma dari perkalian

            Logaritma dari  perkalian 2 bilangan sama dengan penjumlahan logaritma dari masing-masing bilangan, didefinisikan sebagai berikut:

^alog MN = ^alog m + ^alog n,    dengan syarat a ≠ 1 dan  a, M, N > 0

Pembuktian:

Misal  M = aⁿ   ↔    ^alog M = p   dan   N = a^q    ↔      ^alog N = q   sehingga   MN = a^r  ↔   ^alog MN = r

Karena  a^r  =  MN, maka ^alog MN =  r  =  p + q  =  ^alog M + ^alog N ( terbukti )

2.2       Logaritma dari pembagian

            Logaritma dari pembagian 2 bilangan sama dengan logaritma dari pembilang dikurangi logaritma dari penyebutnya, didefinisikan sebagai berikut:

^alog(M : N)  =  ^alog m – ^alog n,    dengan syarat a ≠ 1 dan  a, M, N > 0

Pembuktian:

Misal  M = aⁿ   ↔   ^alog M = p   dan   N = a^q    ↔    ^alog N = q   sehingga  M:N = a^r  ↔   ^alog M : N = r

Karena  a^r  =  M : N, maka ^alog ( M : N ) =  r  =  p - q  =  ^alog M - ^alog N ( terbukti )

2.3       Logaritma dari perpangkatan

            Logaritma dari perpangkatan suatu bilangan adalah perkalian dari bilangan pangkat dengan logaritma bilangan pokok.

^alog M^p  =  p. ^alog M,   dengan a ≠ 0,  dan a, M, p > 0

                                                                               

2.4       Mengubah basis logaritma

            Logaritma suatu bilangan sama dengan logaritma bilangan tersebut dibagi dengan logaritma dari basisnya, didefinisikan sebagai berikut:

                                                                               ^Mlog N =  ^aLog N

                                                                                   ^aLog M ,   dengan syarat a, M ≠ 1   dan a, M, N > 0

Pembuktian:

Misal M = a^p   ↔    ^alog M = p

          N  = a^q   ↔     ^alog N = q

Maka    ^MLOG N  =    ^ap log a^q    =  q .^ap log a  =     q .^ap log (a^p)^1/p  =  q/p = ^alog N

                                                                                                                     ^alog M    (terbukti)

2.5.      Perpangkatan dengan logaritma

Perpangkatan statu bilangan (a) dengan logaritmo sebuah bilangan (M) dengan basis sama dengan bilangan pokok (a) didefinisikan sebagai berikut:                                                         

                                                          ^alog M

                                      a            = M ,     dengan syarat  a ≠ 1  dan a, M > 0

Pembuktian:

Misal ^alog M = p    ↔    a^p = M

Maka  =        ^alog M

                    a                 =    a^p

                                                          =    M (terbukti)

Contoh:

1.         Dengan menggunakan sifat logaritma perkalian tentukan nilai dar:

            a.  log 40 + log 25                   b.  ²log 4 + ²log 8                    c.  Jika log 4 = a dan log 3 = b

                                                                                                                 tentukan  log 48

Jawab.

            a.  log 40 + log 25 = log (40 x 25) = log 100 = 2

            b.  ²log 4 + ²log 8  =   ²log (4 x 8) =  ²log 32 = 5

            c.    log 48 =  log (4 x 4 x 3)  =  log 4 + log 4  + log 3 =  a + a + b = 2a + b

2.         a.   Jika log 2 = 0,3010  dan  log 3 = 0,4771,  dengan menggunakan sifat logaritma pembagian

            Tentukanlah nilai dari  log 1,5

Jawab

log 1,5 = log 3/2 = log 3 – log 2 = 0,4771 – 0,3010 = 0,1761

b.   Dengan menggunakan sifat logaritma pembagian tentukan nilai  ²log 14 – ²log 7

Jawab    

²log 14 – ²log 7 = ²log (14/7) = ²log 2 = 1

3.         a.   Jika log 2 = 0,3010  dan  log 3 = 0,4771, tentukan nilai dari log 48

Jawab.

a.   log 48 = log (2⁴ x 3) = log 2⁴ + log 3 = 4 log 2 + log 3 = 4 (0,3010) + 0,4771

                                                                                                         = 1,2040 + 0,4771

                                                                                                         = 1,6811

4.         Jika  ²log 3 = a   dan   ³log 5 = b, dengan mengubah basis logaritma tentukan nilai  ⁶log 15!

Jawab.                   

            ⁶log 15 = log 15  =   log (3 x 5)  =  ³log 3 + ³log 5  =  1  +  b    =  a ( 1 + b)

                           log 6          log (3 x 2)      ³log 3 + ³log 2       1  +  1/a         1 +  a

5.         Dengan menggunakan sifat dan perpangkatan logaritma, tentukan nilai dari

                ⁴ log 64

              4            

Jawab.

                ⁴ log 64                

              4              =      64

RANGKUMAN

Definisi logaritma:

^alog b = c  ↔  a^c = b,  dengan syarat a ≠ 1  dan  a, b > 0

a disebut bilangan pokok (basis) logaritma

Sifat-sifat logaritma:

1.         ^alog M.N = ^alog m + ^alog n,    dengan syarat a ≠ 1 dan  a, M, N > 0

2.         ^alog(M : N)  =  ^alog m – ^alog n,   dengan syarat a ≠ 1 dan  a, M, N > 0

3.         ^alog M^p  =  p. ^alog M,   dengan a ≠ 0,  dan a, M, p > 0

4.         ^Mlog N =  ^aLog N

                                          ^aLog M ,   dengan syarat a, M ≠ 1   dan a, M, N > 0

                        ^alog M

5.            a            = M ,     dengan syarat  a ≠ 1  dan a, M > 0

6.         ^alog b . ^b log c . ^c log d = ^alog d

7.         aⁿ

                     Log b^m   =  m   ^alog b

                                n

8.         ^alog 1 = 0

9.         ^alog aⁿ = n

10.       ^alog b  =       1

                          ^blog a

TES KEGIATAN BELAJAR 3

Berilah tanda silang ( x ) pada huruf   a , b,  c , d  , atau e  pada jawaban yang paling benar!

1.         ⁴log 64 + ³log 81 – ^½log 8  = ....

            a.   10              b.  9                 c.  7                 d.  6                 e.  4                

2.         Jika log 2 = a , maka log 5 = ....

            a.  a                  b.  1 + a           c.  1 – a            d.  3a               e.  -1

3.         Jika log 2 = a , maka log 50 = ....

            a.  -1                b.  2a               c.  3a                d.  2a – 1         e.  2 – a

4.           ²log 5

            4             =....

            a.  0,4              b.  0,2              c.  1                 d.  5                 e.  25

5.         Jika log (2x + 6) = 2, maka x = ....

            a.  46               b.  47               c.  48               d.  49               e.  50

6.         ^alog (1/b) . ^blog (1/c) . ^clog(1/a) =....

            a.  -1                b.  1                 c.  1                 d.  1 + abc       e.  1 – abc

                                                        abc

7.         Bentuk sederhana dari log 8 + log 1,25 adalah….

            a.  100             b.  10               c.  3                 d.  2                 e.  1

8.         Jika ³log 5 = p, maka nilai ⁵log √3 adalah….

            a.  4/p              b.  2/p              c.  1/p              d.  ½p  e.  ¼p

9.         Nilai dari  ³log   1   . ⁵log 8 . ²log √3

                                  25

            a.  -3                b.  -2                c.  1                 d.  2                 e.  3

10.       Jika 2^a = 3 , maka ³log 12 = ....

            a.  2  +  a         b.  2  +  a         c.  2  +  a         d.  1  + 1         e.  2  +  1

                     2                      a                  1  +  a                      a                      a

11.       Jika  ³log 5 = p, maka nilai   ⁵log  3 = ....

            a.  ¼p              b.  ½p  c.  1/p              d. 2/p               e.  4/p

12.       Nilai x yang memenuhi dari  ⁵log (0,2) = x  adalah....

            a.  -2                b.  -1                c.  2                 d.  3                 e.  4

13.       Nilai x  dari ²log ⁵√8 = x adalah....

            a.  -5/3             b.  -3/5             c.  3/5              d.  5/3              e.  5/2

14.       Nilai dari  ⁵log 150 – ⁵log 24 + ⁵log 4 = ....

            a.  5                 b.  4                 c.  3                 d.  2                 e.  1

15.       Jika  ⁷log 2 = a  dan  ²log 3 = b, maka nilai ⁶log 98 =….

            a.     a  +  2      b.     a  +  2      c.     a  -  2       d.     a  +  1      e.     a  + 2    

                  a(1+ b)           1 + ab            a(1+b)            a(1+b)           a(1-b)

           

KUNCI JAWABAN

1.  a                                         6.  a                                         11.  b                          

2.  c                                         7.  e                                         12.  b

3.  e                                         8.  d                                         13.  c

4.  e                                         9.  b                                         14.  d

5.  b                                         10.  b                                       15.  a

UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT

Cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban tes kegiatan belajar 3 ini.  Kemudian gunakan humus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi kegiatan relajar 3.

Rumus:

Tingkat Penguasaan  =  Jumlah Jawaban Anda yang benar     x  100  

                                                            15

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai:

96  -  100         =  Tuntas istimewa

86  -  95           =  Tuntas baik sekali

81  -  85           =  Tuntas baik

75  -  80           =  Tuntas cukup

65  -  74           =  Tuntas kurang

0    -  64           =  Belum tuntas Sangat kurang

Bila tingkat penguasaan Anda mencapai  ≥ 75, maka Anda dikatakan tuntas dan memahami materi pada kegiatan belajar 3.  Hebat!.  Tetapi bila tingkat penguasaan Anda  < 75, maka Anda harus mengikuti Remedial terutama bagian yang belum dikuasai.

baca juga Rangkuman Matematika SMA Kelas 10

Artikel Pendidikan

PERAN GURU DI ERA GLOBALISASI

A. Pendahuluan

Abad 21 merupakan era baru yang menawarkan berbagai peluang dan tantangan.  Globalisasi merupakan suatu kondisi yang tidak terelakkan oleh semua bangsa di dunia, dan bahkan oleh setiap umat manusia di bumi ini. Globalisasi tidak bisa dianggap enteng, mau tidak mau, suka tidak suka, siap maupun tidak siap, Indonesia terimbas, bahkan terseret pula oleh arus deras globalisasi. Pembangunan yang menekankan pada sumber daya alam (resouce based) tidak lagi sesuai dengan perkembangan zaman. Yang harus diutamakan sekarang adalah pembangunan yang berorientasi pada peningkatan kualitas sumber daya manusia (human resouce – based). Globalisasi membawa konsekuensi berupa berbagai dampak baik sosial, politik maupun budaya, selain tentu saja dampak ekonominya yang paling menonjol.

Sejalan dengan kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi dewasa ini, khususnya dalam bidang informasi dan komunikasi, telah menjadikan dunia ini terasa semakin menjadi sempit dan transparan. Antara satu belahan dunia dengan belahan dunia lainnya dengan mudah dapat dijangkau dan dilihat dalam waktu yang relatif singkat.  Itulah globalisasi, yang di dalamnya membawa berbagai implikasi yang luas dan kompleks bagi kehidupan manusia. Implikasi nyata dari adanya globalisasi adalah terjadinya perpacuan manusia yang mengglobal. Seorang individu dalam berkarya tidak hanya dituntut untuk mampu berkiprah dan berkompetisi sebatas tingkat lokal dan nasional semata, namun lebih jauh harus dapat menjangkau sampai pada tingkat kompetisi global, yang memang di dalamnya berisi sejumlah tantangan dan peluang.            Berbagai perubahan pada era globalisasi ini menimbulkan berbagai tantangan yang membutuhkan cara-cara mengatasi, yang berbeda dengan cara-cara yang dilakukan pada masa lampau.  Cara yang paling jitu menghadapi era globalisasi adalah dengan peningkatan sumber daya manusia (SDM) melalui peningkatan mutu pendidikan. 

Globalisasi jangan dijadikan “momok” yang menakutkan akan tetapi harus kita jadikan peluang yang bermanfaat. Untuk mengantisipasi peluang ini, maka perlu kesiapan dan kemahiran manusia itu sendiri.  Kualitas  sumber daya manusia amat penting karena hanya dengan sentuhan manusia-manusia yang memiliki kemampuan intelektual tinggi, keterampilan yang handal dan sikap moral yang tinggi, maka berbagai persoalan yang muncul sebagai konsekwensi logis dari adanya era globalisas sangat diyakini akan bisa terjawab. Oleh karena itu, gerakan usaha meningkatkan kualitas sumber daya manusia hendaknya menjadi komitmen seluruh komponen bangsa. Melalui usaha meningkatkan kualitas sumber daya manusia diharapkan dapat tercipta manusia-manusia yang dapat diandalkan untuk mampu berkiprah dalam percaturan global.  Pada kenyataaannya, memang harus diakui bahwa saat ini tingkat kualitas sumber daya manusia kita sangat mengkhawatirkan, jangankan untuk bersaing pada tingkat global, untuk tingkat regional ASEAN saja, posisi kualitas sumber daya manusianya di atas kita.

Di era global saat ini, perubahan yang mendasar dalam penyelenggaraan sistem pendidikan harus dilakukan, termasuk di dalamnya usaha untuk menempatkan guru sebagai kunci utama keberhasilan pendidikan. Karenanya guru diberikan otonomi yang lebih luas dalam melaksanakan berbagai tugas, fungsi dan kewajibannya, Guru harus didorong berbuat lebih kreatif dan inovatif untuk menemukan sendiri berbagai metode dan cara baru yang paling sesuai dan tepat dalam proses pembelajaran, yang ditujukan demi keberhasilan para siswanya.  Begitu juga, bobot penilaian dan penghargaan kepada guru hendaknya ditekankan pada hal-hal lebih esensial dan substansial yaitu sejauhmana guru dapat melaksanakan proses pembelajaran secara efektif dan sejauhmana guru dapat mengembangkan pola interaksi belajar yang kondusif.  Karena itulah guru dituntut untuk betul-betul dapat menjalankan perannya dalam proses pembelajaran yang efektif dan efisien.                DR. E. Mulyasa, M.Pd, menyebutkan ada 20 peran yang idealnya dilakukan oleh seorang guru profesional, yakni sebagai : (1) pendidik, (2) Pengajar, (3) Pembimbing, (4) Pembimbing, (5) Pelatih, (6). Penasehat, (7). Inovator, (8). Model/ teladan/ uswah, (9) Pribadi, (10) Peneliti, (11) Pendorong Kreativitas, (12) Pembangkit Pandangan, (13) Pekerja Rutin, (14) Pemindah Kemah, (15) Pembawa Cerita, (16) Aktor, (17) Emansipator, (18) Evaluator, (19) Pengawet , dan (20) Kulminator.            Upaya pemberdayaan guru, baik dari segi kinerja maupun kesejahteraannya, untuk terciptanya sumber daya manusia yang berkualitas akan menjadi  kenyataan, yang pada gilirannya nanti akan terbentuk manusia-manusia yang sanggup mencetak sumber daya insani yang memiliki dan wawasan sanggup bersaing di era global.
Karenanya dalam Standar Kompetensi Guru bagian Komponen Pengelolaan Pembelajaran Dan Wawasan Kependidikan & Komponen Pengembangan Profesi disebutkan bahwa “Berbagai masalah yang berkaitan dengan kondisi guru, antara lain: (1) adanya keberagaman kemampuan guru dalam proses pembelajaran dan penguasaan pengetahuan, (2) belum adanya alat ukur yang akurat untuk mengetahui kemampuan guru, (3) pembinaan yang dilakukan belum mencerminkan kebutuhan, dan (4) kesejahteraan guru yang belum memadai. Jika hal tersebut tidak segera diatasi, maka akan berdampak pada rendahnya kualitas pendidikan.” 

Jadi persoalan mendasar untuk mencetak sumber daya insani yang sanggup bersaing di era global, tentu terpulang kepada bagaimana kemampuan mereka yang melakukan itu, yakni peran para guru. Ini berarti bahwa persoalan pokok terletak bagaimana menstandardkan kemampuan/kompetensi guru sehingga memang diharapkan mampu melakukan tugas-tugas yang diamanahkan/dituntut oleh masyarakat lokal, nasional dan bahkan internasional di era global ini.

Guru mempunyai kedudukan sebagai tenaga profesional pada jenjang pendidikan dasar, pendidikan menengah, dan pendidikan anak usia dini pada jalur pendidikan formal yang diangkat sesuai dengan peraturan perundang-undangan.

Kedudukan guru sebagai tenaga profesional berfungsi untuk meningkatkan martabat dan peran guru sebagai agen pembelajaran berfungsi untuk meningkatkan mutu pendidikan nasional, bertujuan untuk melaksanakan sistem pendidikan nasional dan mewujudkan tujuan pendidikan nasional, yaitu berkembangnya potensi peserta didik agar menjadi manusia yang (1) beriman dan bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, (2) berakhlak mulia, (3) sehat, (4) berilmu, (5) cakap, (6) kreatif, (7) mandiri, serta (8) menjadi warga negara yang demokratis dan bertanggung jawab. 

Berbicara masalah pendidkan, bagaimana kita dapat bangkit dari keterpurukan mutu pendidikan yang berdampak besar terhadap krisis multidimensial. Berbicara mengenai peningkatan mutu pendidikan pada bangsa yang  sedang mengalami krisis bukanlah persoalah mudah. Karena banyak faktor yang mempengaruhi  mutu pendidikan di suatu negara.

            Faktor-faktor yang mempengaruhi mutu pendidikan sebagai berikut:

a.       Raw Input (siswa)

Yang termasuk raw input adalah IQ, EQ, AQ, SQ, Bakat, minat, kebutuhan dan perkembangan intelektual.

b.      Instrumental Input

Faktor internal dalam peningkatan mutu pendidikan adalah Kurikulum yang disesuaikan dengan kebutuhan, kompetensi guru, dan sarana prasarana pembelajaran.

c.       Enviromental Input

Faktor eksternal yang mempengaruhi dalam meningkatkan mutu pendidikan adalah lingkungan keluarga, lingkungan tempat tinggal, dan lingkungan sekolah itu sendiri sebagai penyelenggara pendidikan.

d.      Output

Implikasi dari proses pendidikan yang memberikan pelayaan yang prima akan bertampak pada hasil yang diharapkan, yang dimaksud adalah:

a)      nilai UN, sumatif, dan formatif menunjukkan angka di atas rata-rata

b)      hasil belajar (kognitif, apektif, dan psikomotor) semakin membaik

c)      memunculkan peserta didik yang cerdas, kompetitif, dan berakhlak mulia

d)     menghasilkan manusia hidup bahagia mati masuk surga (happy anding)  

Ada apa di abad 21? diabad 21 yang di sebut era globalisasi, teknologi semakin maju, dan masalah semakin beragam.  Keberagaman ini akan nampak seperti:

1.      Informasi semakin beragam, jenis dan sumbernya

2.      Persoalan semakin beragam

3.      Manusia beragam dalam budaya dan agama

4.      Teknologi semakin beragam

Apa yang perlu dimiliki anak menghadapi tantangan jaman di era globalisasi       sekarang ini?

1.      Memiliki tangggung jawab : pribadi dan sosial (kerja sama/networking)

2.      Memiliki kemampuan beradaptasi (learning how to learn)

3.      Memiliki kemampuan berkomunikasi

4.      Problem solver : yaitu mampu berfikir nalar, kreatif, kritis dan sistematik

5.      Melek media/informasi

6.      Memiliki keteguhan keyakinan dalam beragama, falsafah, dan budaya.

B.Guru Abad 21

Era globalisasi yang ditandai dengan persaingan kualitas atau mutu, menuntut semua pihak dalam berbagai bidang dan sektor pembangunan untuk senantiasa meningkatkan kompetensinya.  Hal tersebut mendudukan pentingnya upaya peningkatan kualitas pendidikan baik secara kuantitatif maupun kualitatif yang harus dilakukan terus menerus, sehingga pendidikan dapat digunakan sebagai wahana dalam membangun watak bangsa (nations character building). Untuk itu, guru sebagai main person harus ditingkatkan kompetensinya dan diadakan sertifikasi sesuai dengan pekerjaan yang diembannya. Dalam kerangka inilah pemerintah merasa perlu mengembangkan standar kompetensi dan sertifikasi guru, sebagai bagian dari standar pendidikan nasional (SPN) dan standar nasional Indonesia (SNI) (Mulyasa, 2008:17).     

            Pada hakikatnya, standar kompetensi dan sertifikasi guru adalah untuk mendapatkan guru yang baik dan profesional, yang memiliki kompetensi untuk melaksanakan fungsi dan tujuan sekolah khususnya, serta tujuan pendidikan pada umumnya, sesuai kebutuhan masyarakat dan tuntutan zaman.

            Dari berbagai sumber, dapat diidentifikasikan beberapa indikator yang dapat dijadikan ukuran karakteristik guru yang dinilai kompetensi secara profesional, yaitu : (1) mampu mengembangkan tanggung jawab dengan baik, (2) mampu melaksanakan peran dan fungsinya dengan tepat, (3) mampu bekerja untuk mewujudkan tujuan pendidikan sekolah, (4) mampu melaksanakan peran dan fungsinya dalam pembelajaran di kelas (Mulyasa, 2008:17-18).

Sosok Guru Abad 21

1)      Guru Sebagai Tenaga Profesional

            Guru sebagai tenaga profesional merupakan tekad pemerintah dan semua pihak dalam upaya meningkatkan mutu pendidikan di Indonesia, agar nantinya mutu SDM Indonesia mampu berdiri sejajar dengan yang lain di dunia. Sistem pendidikan nasional harus mampu menjamin pemerataan kesempatan pendidikan, peningkatan mutu serta relevansi dan efisiensi untuk menghadapi tantangan sesuai dengan tuntutan perubahan kehidupan lokal, nasional, regional dan global sehingga pelu dilakukan pembaharuan pendidikan secara terencana, terarah, dan berkesinambungan.

            Dalam upaya pembangunan pendidikan nasional, diperlukan guru dalam jumlah yang memadai dengan standar mutu kompetensi dan profesionalisme yang terjamin dan dapat menggerakkan dinamika kemajuan pendidikan nasional. Untuk mewujudkannya diperlukan suatu proses yang terus menerus, tepat sasaran, dan efektif. Proses menuju guru profesional ini perlu didukung oleh semua unsur yang terkait dengan guru. Unsur-unsur tersebut dapat dipadukan untuk menghasilkan suatu sistem yang dapat dengan sendirinya bekerja menuju pembentukan guru-guru yang profesional dalam mutu maupun kuantitas yang mencukupi.

            Sejalan dengan kebijakan pemerintah, melalui UU no. 14 Tahun 2005 Pasal 7 mengamanatkan bahwa pemberdayaan profesi guru diselenggarakan melalui pengembangan diri yang dilakukan secara demokratis, berkeadilan, tidak diskriminatif, dan berkelanjutan dengan menjunjung tinggi hak asasi manusia, nilai keagamaan, nilai kultural, kemajemukan bangsa, dan kode etik profesi. Di samping itu, menurut pasal 20, dalam melaksanakan tugas keprofesionalan, guru berkewajiban meningkatkan dan mengembangkan kualifikasi akademik dan kompetensi secara berkelanjutan sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, teknologi, dan seni.

            Dengan memperhatikan hal tersebut di atas, selayaknya pemerintah memfasilitasi terlaksananya pengembangan profesionalisme guru secara berkelanjutan agar kompetensi guru sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, teknologi dan seni.  Unsur-unsur yang berperan dalam peningkatan profesionalisme guru di antaranya adalah Kelompok Kerja Guru(KKG)/Musyawarah Guru Mata Pelajaran (MGMP), Lembaga Penjamin Mutu Pendidikan (LPMP)/Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidikan dan Tenaga Kependidikan (P4TK), Kepala Sekolah, Pengawas Sekolah, dan Pemerintah Daerah. Di samping itu organisasi profesi, perguruan tinggi, industri dan partner internasional merupakan unsur yang dapat berperan secara signifikan dalam peningkatan profesionlisme guru berkelanjutan.

            Program pengembangan profesionalisme guru secara berkelanjutan memiliki tujuan memelihara, meningkatkan, dan mengembangkan kompetensi guru secara berkelanjutan untuk mencapai standar profesi guru yang dipersyaratkan agar sejalan dengan kemajuan ilmu pengetahuan, teknologi , dan seni (Rivai dan Murni, 2009).

            Pofesi guru merupakan bidang pekerjaan khusus yang dilaksanakan berdasarkan prinsip sebagai berikut: (1) memiliki bakat, minat, panggilan jiwa, dan idealisme; (2) memiliki komitmen untuk meningkatkan mutu pendidikan, keimanan, ketakwaan, dan akhlak mulia; (3) memiliki kualifikasi akademik dan latar belakang pendidikan sesuai dengan bidang tugas; (4) memiliki kompetensi yang diperlukan sesuai dengan bidang tugas; (5) memiliki tanggung jawab atas pelaksanaan tugas keprofesionalan; (6) memperoleh penghasilan yang ditentukan sesuai dengan prestasi kerja; (7) memiliki kesempatan untuk mengembangkan keprofesionalan secara berkelanjutan dengan belajar sepanjang hayat; (8) memiliki jaminan perlindungan hukum dalam melaksanakan tugas keprofesionalan; dan (9) memiliki organisasi profesi yang mempunyai kewenangan mengatur hal-hal yang berkaitan dengan tugas keprofesionalannya.

            Berbicara tentang guru sebagai tenaga profesional memiliki fungsi yaitu (1) meningkatkan martabat guru di bidang pekerjaannya; (2) guru sebagai agen pembelajar; (3) meningkatkan mutu pendidikan nasional/mewujudkan tujuan pendidikan.

2)      Guru memiliki Standar Kompetensi   

            Istilah kompetensi guru mempunyai banyak makna, Broke and Stone (1995, dalam Mulyasa, 2008) mengemukakan bahwa kompetensi guru sebagai …descriptive of qualitative nature of teacher behavior appears to be entirely meaningful…kompetensi guru merupakan gambaran kualitatif tentang hakikat perilaku guru yang penuh arti. Sementara Charles (1994 dalam Mulyasa, 2008) mengemukakan bahwa : competency as rational performance which satisfactorily meets the objective for a desired condition (kompetensi merupakan perilaku yang rasional untuk mencapai tujuan yang dipersyaratkan sesuai dengan kondisi yang diharapkan). Sedangkan dalam Undang-Undang Republik Indonesia Nomor 14 Tahun 2005 tentang Guru dan Dosen, dijelaskan bahwa : “kompetensi adalah seperangkat pengetahuan, keterampilan, dan perilaku yang harus dimiliki, dihayati, dan dikuasai oleh guru atau dosen dalam melaksanakan tugas keprofesionalan”.  Penulis menyebut bahwa yang disebut kompetensi adalah terintegrasinya Ilmu (kognitif), Amal (psikomotor), dan Iman (apektif).

            Dari Uraian di atas, nampak bahwa kompetensi mengacu pada kemampuan melaksanakan sesuatu yang diperoleh melalui pendidikan; kompetensi guru menunjuk kepada performance dan perbuatan yang rasional untuk memenuhi spesifikasi tertentu di dalam pelaksanaan tugas-tugas pendidikan. Dikatakan rasional karena mempunyai arah dan tujuan, sedangkan performance merupakan perilaku nyata dalam arti tidak hanya dapat diamati, tetapi mencakup sesuatu yang tidak kasat mata.

            Kompetensi merupakan komponen utama dari standar profesi di samping kode etik sebagai regulasi perilaku profesi yang ditetapkan dalam prosedur dan sistem pengawasan tertentu. Kompetensi diartikan dan dimaknai sebagai perangkat perilaku efektif yang terkait dengan eksplorasi dan investigasi, menganalisis dan memikirkan, serta memberikan perhatian, dan mempersepsi yang mengarahkan seseorang menemukan cara-cara untuk mencapai tujuan tertentu secara efektif dan efisien. Kompetensi bukanlah suatu titik akhir dari suatu upaya melainkan suatu proses yang berkembang dan belajar sepanjang hayat (lifelong learning process) (Mulyasa, 2009:25-26).

            Guru secara utuh memiliki ekspektasi peran  ialah sebagai pendidik (educator), sebagai pengajar (teacher), sebagai anggota masyarakat, sebagai pemimpin,  sebagai administrator, dan sebagai pengelola pembelajaran.

Sebagai pendidik, guru mengemban tugas membimbing peserta didiknya agar dapat tumbuh-kembang optimal untuk menjadi dan menemukan jati dirinya (being a good citizen) dengan berlandaskan kepada filosofi pendidikan yang berorientasi pada peserta didik (student oriented) melalui pendekatan psikologis, sosiologis, dan pedagogis.                                                                                                             Sebagai pengajar, guru mengemban tugas untuk mewujudkan suasana dan proses pembelajaran agar peserta didik dapat mengembangkan potensinya secara optimal untuk secara cerdas memiliki dan menguasai pengetahuan dan keterampilan (having skills and scientific knowledge) dengan berlandaskan filosofi pembelajaran yang mengutamakan bahan pelajaran (subject matter) dan strategi pembelajaran tekno-metodologik.

Dalam operasionalisasi kedua tugas esensial guru itu diselenggarakan secara terpadu, sehingga dari setiap proses pembelajaran diharapkan dapat menghasilkan efek ganda, ialah menguasai bahan pelajaran dan kepribadian, kemandirian, pengendalian diri dan akhlak mulia (nurturant affects)., Kedua peran tugas esensial jabatan guru tersebut seharusnya dipahami dan dihayati oleh setiap guru secara utuh dan terpadu (Makmun, dalam Fadjar, 2009:376).

            Menurut Morris dkk, 1963 (Makmun, dalam Fadjar, 2009:393) bahwa pendidik dan khususnya guru memahami landasan-landasan filosofi dan teoritis, sosiologi, antropologis, dan psikologis serta sistem nilai-nilai disamping menguasai  kemahiran metodologis dan teknologis yang relevan dengan praktis pendidikan. Di atas kesemuanya itu, seoang pendidik khususnya guru sejati harus memiliki jiwa dan semangat keterpanggilan atas tugas yang diembannya. Selanjurnya Jarvis, 1983 (Makmun, dalam Fadjar, 2009:393) mensinyalir bahwa sangat boleh jadi tidak semua pendidik dan khususnya guru tidak atau belum menyadari atas keterpanggilan pada tugasnya, namun pada dasarnya hal itu dapat ditumbuh-kembangkan secara kondisional yang kondusif melalui pembinaan yang sistematis dalam suatu tatanan dan proses sistem pendidikan dan latihan yang mampu melahirkan guru-guru yang memiliki kemampuan (competencies) sesuai dengan ukuran standar yang dipandang ideal.

3)      Kompetensi Guru dan Dosen menurut UU nomor 14 tahun 2005

            Menurut UU nomor 14 tahun 2005 tentang Guru dan Dosen, ada empat kompetensi pokok yang harus dikuasai oleh guru, meliputi : kompetensi kepribadian, kompetensi sosial, kompetensi professional, dan kompetensi pedagogik.

 (1). Kompetensi kepribadian (akhlaq mulia)

            Yaitu guru memiliki kepribadian yang mantap, stabil, dewasa, arif, dan berwibawa, menjadi teladan bagi peserta didik, dan berakhlak mulia. Bakat dan minat menjadi guru merupakan faktor penting untuk memperkokoh seseorang memilih profesi guru. Guru adalah teladan bagi anak didik, dan masyarakat sekitarnya. Oleh sebab itu kepribadian yang mantap menjadi syarat pokok bagi guru agar tidak mudah terombang-ambing secara psikologis oleh situasi yang terus berubah secara dinamis (baik positif maupun negatif). Dengan kepribadian seperti ini, guru akan mampu tampil berwibawa, arif dalam menyapa dan mendidik para siswa, dan cerdas dalam melayani masyarakat dengan segala perbedaannya.

(2). Kompetensi Sosial (Gaul)

            Yaitu kemampuan berkomunikasi secara efektif dengan peserta didik, sesama pendidik, tenaga kependidikan, orang tua/wali peserta didik, dan masyarakat sekitar. Guru harus menjauhkan sikap-sikap egois, sikap yang hanya mengedepankan kepentingan diri sendiri. Guru harus pandai bergaul, ramah terhadap peserta didik, orang tua maupun masyarkat pada umumnya. Guru adalah sosok yang dapat secara luwes berkomunikasi kesegala arah, karena bidang tugasnya selalu berhubungan dengan siswa, antar guru, dengan atasannya, dan kepada masyarakat di luar sekolah. Ada beberapa tip yang harus dikuasai guru dalam tata pergaulan ini. Dan kunci keberhasilan guru dalam membina dan membelajarkan siswa maupun anggota masyarakat lainnya, adalah terletak pada bagaimana kemampuan guru melakukan interaksi sosial ini kepada siswa dan masyarakat lainnya.

(3). Kompetensi Profesional (menguasai materi ajar dan pengayaannya)

                        Yaitu kemampuan untuk  dapat menguasai materi pembelajaran secara luas dan mendalam yang memungkinkan guru mampu membimbing peserta didik sehinggs dapat memenuhi standar kompetensi minimal yang seharusnya dikuasai oleh peserta didik. Guru diwajibkan menguasai dengan baik mata pelajaran yang diasuhnya, sejak dari dasar-dasar keilmuannya sampai dengan bagaimana metode dan teknik untuk mengajarkan serta cara menilai dan mengevaluasi siswa yang menngikuti proses belajar mengajar. Akhir dari proses pembelajaran adalah siswa memiliki standar  kompetensi minimal yang harus dikuasai dengan baik, sehingga ia dapat melakukan aktifitas sesuai dengan kompetensi tersebut. Oleh karena itu kompetensi secara sederhana sering disebut dengan “competency is an ability to do something”.  Guru profesional adalah guru yang menguasai mata pelajaran dengan baik dan mampu membelajarkan siswa secara optimal, menguasai semua kompetensi yang dipersyaratkan bagi seorang guru (Makmun, dalam Fadjar, 2009:129-131).

(4). Kompetensi pedagogik (menguasai metode, pendekatan pembelajaran dan       berwawasan kependidikan)

         Yaitu kemampuan guru dalam mengelola pembelajaran yang meliputi pemahaman terhadap peserta didik, perancangan dan pelaksanaan pembelajaran, evaluasi pembelajaran, dan pengembangan peserta didik untuk mengaktualisasikan berbagai potensi yang dimilikinya. Upaya memperdalam pemahaman terhadap peserta didik ini didasari oleh kesadaran bahwa bakat minat dan tingkat kemampuan mereka berbeda-beda, sehingga layanan secara individual juga berbeda-beda. Sekalipun bahan ajar yang disajikan dalam kelas secara klasikal sama, namun ketika sampai pada pemahaman secara individual, guru harus mengetahui tingkat perbedaan individual siswa, sehingga dapat memandu siswa yang percepatan belajarnya terbelakang, sehingga pada akhir pembelajaran memiliki kesetaraan. Pada dasarnya proses pembelajarn ini adalah bagaimana kemampuan pendidik membantu pengembangan seluruh potensi yang dimiliki oleh peserta didik.

            Keempat standar kompetensi guru tersebut masih bersifat umum dan perlu dikemas dengan menempatkan manusia sebagai makluk ciptaan Allah yang beriman dan bertaqwa, serta sebagai warganegara Indonesia yang demokratis dan bertanggung jawab. Pengembangan keempat standar kompetensi guru di atas perlu didasarkan pada (1) landasan konseptual, landasar  teoritik, dan peraturan perundangan yang berlaku; (2) landasan empirik dan fenomena pendidikan yang ada, kondisi, strategi, dan hasil di lapangan, serta kebutuhan stakeholders; (3) jabaran tugas dan fungsi guru : merancang, melaksanakan, dan menilai pembelajaran, serta mengembangkan pribadi peserta didik; (4) jabaran indikator standar kompetensi : rumpun kompetensi, butir kompetensi, dan indikator kompetensi; dan (5) pengalaman belajar dan asesmen sebagai tagihan konkret yang dapat diukur dan diamati untuk setiap indikator kompetensi (Depdiknas, 2004 dalam Mulyasa, 2008).

            Di samping standar profesi di atas, guru perlu memiliki standar mental, moral, sosial, spiritual, intelektual, fisik dan psikis, sebagai berikut :

(1). Standar mental : guru harus memiliki mental yang sehat, mencintai, mengabdi, dan memiliki dedikasi yang tinggi pada tugas dan jabatannya.

(2). Standar moral : guru harus memiliki budi pekerti luhur dan sikap moral yang tinggi.

(3). Standar sosial : guru harus memiliki kemampuan untuk berkomunikasi dan    bergaul dengan masyarakat lingkungannya.

(4)  Spiritual : guru harus beriman dan bertaqwa kepada Allah yang diwujudkan  dengan ibadah dalam kehidupan sehari-hari.

(5). Standar intelektual : guru harus memiliki pengetahuan dan keterampilan yang memadai agar dapat melaksanakan tugas dan kewajibannya dengan baik dan profesional.

(6) Standar fisik : guru harus sehat jasmani, badan sehat, dan tidak memiliki penyakit menular yang membahayakan diri, peserta didik, dan lingkungannya.

(7). Standar psikis : guru harus sehat rohani, artinya tidak mengalami ganguan jiwa ataupun kelainan yang dapat mengganggu pelaksanaan tugas profesionalnya (Mulyasa, 2008:28).

C.Kesimpulan

                Di era globalisasi ini, para guru menghadapi berbagai ketidak pastian sejalan dengan perkembangan teknologi, ilmu pengetahuan, ekonomi dan sosial budaya sehingga guru dituntut untuk belajar lebih banyak dan proaktif agar mereka memiliki pengetahuan dan keahlian yang lebih kaya dibandingkan siswa. Karena guru sebagai sosok terdepan dalam proses pendidikan dituntut untuk mampu memberikan pengetahuan, sikap perilaku dan keterampilan melalui strategi dan pola pembelajaran yang sesuai dengan era globalisasi.

            Persoalan membantu meningkatkan kompetensi dan profesional guru sangatlah kompleks dan luas. Pemerintah harus membantu dengan mulai dari peningkatan kesejahteraan guru sampai dengan standarisasi kompetensi guru. Tetapi yang lebih penting adalah kesadaran guru untuk meningkatkan kompetensi diri sendiri.

            Guru yang profesional merupakan keharusan demi mewujudkan lulusan pendidikan yang mampu bersaing dalam menghadapi realitas kehidupan di era globalisasi ini.

Peran guru dalam menghadapi era globalisasi harus mampu mengadaptasi sistem pembelajaran.  Bagaimanakah pembelajaran di abad 21 ini, banyak pilihan yang memungkinkan seorang guru mengimplemenasikannya, diantaranya adalah:

1.      Pembelajaran konstruktivisme (J.Piaget)

2.      Pembelajaran Meaningful Learning (belajar bermakna)

Belajar bermakna dapat kita ambil dari beberapa pakar pendidikan diantaranya:

a.       John Dewey tentang Learning by doing

b.      John Piaget tentang Intellectual

c.       J.D.Novac Ausubel tentang Discovery Learning

DAFTAR PUSTAKA

Fajar, A.M.(2009). Pengembangan Profesionalisme Guru. Jakarta : Uhamka Press.

Iskandar. (2009). Psikologi Pendidikan. Jakarta : Gaung Persada Press.

Mulyasa, E.(2008). Standar Kompetensi dan Sertifikasi Guru. Bandung : Rosda.

Rivai, V dan Murni, S. (2009). Education Management. Jakarta : Rajawali Press  

baca juga Pembahasan Contoh Soal Matematika SMP Kelas 7 Tentang Operasi Bilangan Bulat