PLDV Downloads Materi Lengkap Matematika

Sistem persamaan linear dua variabel adalah sistem persamaan linear yang terdiri dari dua persamaan dimana masing-masing persamaan memiliki dua variabel. Contoh SPLDV dengan variabel x dan y:

Silahkan klik tombol downloads di bawah ini untuk mendapatkan materi lengkapnya:

Downloads File Materi Bentuk Akar SMA Kelas X

Bentuk akar merupakan salah satu sub materi dari Eksponen Dan Logaritmayang harus kalian pelajari pada bangku sekolah menengah atas kelas X . Bentuk akar adalah penulisan lain dari bentuk pangkat, dimana n√a identik dengan a1n . Untuk n = 2 atau 2√a , cukup ditulis √a . Bentuk-bentuk dibawah ini mana yang merupakan bentuk akar dan mana yang bukan bentuk akar (bilangan rasional) ?

Pengertian lain Bentuk akar yaitu bentuk lain untuk menyatakan suatu bilangan yang berpangkat. Bentuk akar termasuk kedalam bilangan irasional yang mana bilangan irasional  tidak dapat dinyatakan dengan pecahan a/b, a dan b bilangan bulat a dan b ≠ 0. Bilangan bentuk akar adalah bilangan yang terdapat dalam tanda √ yang disebut sebagai tanda akar.

Beberapa contoh bilangan irasional didalam bentuk akar yaitu √2, √6, √7, √11 dan lain-lain. Sedangkan √25 bukanlah bentuk akar karena √25 = 5  (5 adalah bilangan rasional) sama saja angka 25 bentuk akarnya adalah √5.

Untuk lebih lengkapnya silahkan klik tombol download di bawah ini:

Downloads File Materi Lengkap Eksponen Dan Logaritma

Eksponen Dan Logaritma merupakan salah satu materi wajib yang harus di pelajari oleh kalian yang sedang menempuh jenjang pendidikan sekolah menengah atas SMA KELAS X SEMESTER I . Apayang dimaksud dengan eksponen dan apa yang dimaksud dengan logaritma?. Di bawah ini akan kami berikan sedikit penjelasan mengenai Eksponen Dan Logaritma.

Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponennya memuat variabel. Atau persamaan dimana bilangan pokok atau eksponennya memuat variabel x. Untuk menyelesaikan persamaan eksponen, harus menggunakan sifat-sifat eksponen. Intinya, soal persamaan eksponen bisa kita kerjakan apabila kita mengetahui sifat-sifat eksponen.

Sedangkan Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari pangkat atau eksponen.

Untuk dapat memahami materi tersebut lebih lanjut kami telah menyediakan link download materi Eksponen Dan Logaritma di bawah ini lengkap dengan contoh soal Eksponen Dan Logaritma

Cara Melengkapkan kuadrat sempurna dan Rumus ABC

Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Setiap nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat disebut akar atau penyelesaian dari persamaan kuadrat. himpunan dari akar-akar persamaan kuadrat dinamakan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat.

Untuk menentukan akar - akar persamaan kuadrat atau himpunan penyelesaiannya dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut :

1. Pemfaktoran

    Memfaktorkan adalah mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk perkalian. Bentuk  ax² + bx + c = 0 diubah menjadi bentuk perkalian a(x- α) (x - β) = 0.

Selanjutnya kita ingat bahwa suatu perkalian bernilai nol apabila salah satu faktornya nol sehingga :
a(x- α) (x - β) = 0
x- α = 0 atau x - β = 0
x = α atau x = β

jadi akar-akarnya adalah  α dan  β

Contoh : Carilah akar-akar persamaan kuadrat  x² + 12x + 20 = 0
penyelesaian
                     x² + 12x + 20 = 0
                     (x - 2) (x - 10) = 0
                      x - 2 = 0 atau   x - 10 =0
                      x = 2       atau x = 10
jadi, akar-akar persamaan x² + 12x + 20 = 0 adalah 2 dan 10. Sehingga himpunan penyelesaiannya dapat ditulis HP={2, 10}

2. Melengkapkan kuadrat sempurna

     Tidak Semua persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan pemfaktoran maka muncul lah cara melengkapkan bentuk sempurna. Persamaan kuadrat yang tidak bisa difaktorkan dapat diselesaikan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna yaitu mengubah ax² + bx + c = 0 menjadi bentuk (x+p)² = q

sehingga   x + p =  ±√q
                   x = - p ±√q

Contoh : Carilah akar - akar persamaan kuadrat x² - 4x - 1 = 0
penyelesaian 
                    x² - 4x - 1 = 0
                         x² - 4x = 1  
                   x² - 4x + 4 = 1 + 4 kenapa ditambah 4? karena (1/2 x b)² = 4  
                         (x-2)²  = 5
                             x -2 =  ±√5
                                 x = 2 ±√5
jadi, akar-akarnya adalah 2+√5 dan 2 - √5. Himpunan penyelesaiannya yaitu Hp = {2+√5 , 2 - √5}

3. Rumus ABC

     Rumus ABC diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan kuadrat sempurna dalam bentuk x. Dimana R adalah bilangan real dan a ≠ 0.

Rumus ABC diperoleh dengan menurunkan persamaan kuadrat. Klik disini cara menurunkan rumus ABC

Persamaan kuadrat dapat ditemukan dengan rumus ABC sebagai berikut :

Dengan menerapakan rumus diatas akan diperoleh akar-akar persamaan kuadrat.

Memahami Persamaan Kuadrat Dan Akar-Akarnya

Memahami Persamaan Kuadrat Dan Akar-AKarnya.

A. Definisi Persamaan Kuadrat

     Persamaan kuadrat merupakan suatu persamaan polynomial yang memiliki pangkat tertinggi dua dan berbentuk parabola jika digambarkan pada bidang cartsesius.

Bentuk baku dari persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai berikut :

                  ax² + bx + c = 0 dengan a, b, c є  R dimana R adalah bilangan real dan a ≠ 0.

B. Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

      Setiap nilai x yang memenuhi suatu persamaan kuadrat disebut akar atau penyelesaian dari persamaan kuadrat. Himpunan dari akar-akar persamaan kuadrat dinamakan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat.

Ada beberapa cara yang biasa dipakai untuk menyelesaikan suatu persamaan kuadrat atau menentukan akar-akar persamaan kuadrat.

Berikut adalah cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat :

a. Pemfaktoran

     Memfaktorkan adalah mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk perkalian. Bentuk  ax² + bx + c = 0 diubah menjadi bentuk perkalian a(x- α) (x - β) = 0.

b. Melengkapkan kuadrat sempurna

     Tidak Semua persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan pemfaktoran maka muncul lah cara melengkapkan bentuk sempurna.

c. Rumus ABC

     Rumus ABC diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan kuadrat sempurna dalam bentuk x. Dimana R adalah bilangan real dan a ≠ 0.

C. Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat

      Berdasarkan penentuan akar-akar pada penjelasan sebelumnya akan diperoleh akar-akar atau himpunan penyelesaian dengan sifat-sifat sebagai berikut :

a. Kedua akar nyata dan berbeda

    Dalam hal ini maka nilai x₁ dan  x₂ memiliki nilai berbeda. Hal ini dapat terjadi pada persamaan kuadrat yang memiliki D > 0 atau ( b² - 4ac > 0 )

b. Kedua akar real sama (kembar)

    Dalam hal ini maka nilai x₁ dan  x₂  memiliki nilai sama satu sama lain (kembar). Hal ini dapat terjadi pada persamaan kuadrat yang memiliki D = 0 atau  ( b² - 4ac = 0)

c. Kedua akar tidak nyata (khayal)

    Dalam hal ini maka nilai x₁ dan  x₂ adalah bilangan imajiner. Dalam hal ini dapat terjadi pada persamaan kuadrat yang memiliki D < 0 atau  (b² - 4ac < 0).

Sifat-Sifat Relasi Dan Fungsi Beserta Contohnya

A. Sifat - Sifat Relasi

Relasi dapat dinyatakan dengan definisi sebagai berikut "

"Misalkan A dan B adalah himpunan. Relasi dari himpunan A dan B dihubungkan dengan aturan pengaitan/pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B".

Terdapat sifat-sifat dari relasi sebagai berikut.

1. Sifat Reflektif

    Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk setiap p є P berlaku (p,p) є R. 

Contoh : Diberikan himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan S={(1,1,), (1,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R tersebut bersifat reflektif sebab setiap anggota himpunan P berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

2. Sifat Simetris

    Misalkan R sebuah relasi pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris apabila untuk setiap (x,y) є R berlaku (y, x) є R.

Contoh : Diberikan himpunan P = {1,,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan R = {(1,1,), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R bersifat simetris sebab untuk setiap (x,y) є R berlaku (y,x) є R.

3. Sifat Transitif

    Misalkan R sebuah relasi pada himpunan P. Relasi R bersifat transitif apabila untuk setiap (x,y) є R dan (y,z) є R maka berlaku (x,z) є R.

Contoh : Diberikan himpunan P={1,2,3} didefinisikan relasi pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan R={(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat transitif sebab (x,y) є R dan (y,z) є R maka berlaku (x,z) є R. 

4. Sifat Antisimetris

    Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetri apabila untuk setiap x,y) є R dan (y, x) є R maka berlaku (y = x) є R. 

Contoh : Diberikan himpunan C = {2, 4, 5}. Didefinisikan R pada himpunan C dengan R = {(a,b)  є a kelipatan b} sehingga diperoleh R= {(2,2), (4,4), (5,5) (4,2)} Relasi R tersebut bersifat antisimetris.

Relasi juga memiliki pendefinisian sebagai berikut :

" Misalkan R sebuah relasi pada himpunan P. Relasi R dikatakan relasi ekuivalensi jika dan hanya jika relasi R memnuhi sifat reflektif, simetris, dan transitif".

B. Sifat - Sifat Fungsi

     Fungsi dapat dinyatakan dengan definisi sebagai berikut:

"Misalkan A dan B adalah himpunan. Fungsi f dari A ke B adalah suatu aturan pengaitan yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

Dapat disimbolkan dengan f : A --> B, dibaca fungsi f meemtakan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

Untuk memahami sifat fungsi dapat mempelajari berdasarkan jenis-jenis fungsi seperti fungsi naik dan turun, fungsi ganjil dan genap. Hal ini akan dibahas pada pertemuan berikutnya.

Memahami Definsi Relasi Dan Fungsi SMA Kelas X

A. Definisi Relasi

     Relasi dapat dinyatakan dengan definisi sebagai berikut "

"Misalkan A dan B adalah himpunan. Relasi dari himpunan A dan B dihubungkan dengan aturan pengaitan/pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B".

Dengan catatan relasi dapat terbentuk apabila terdapat dua himpunan / kelompok yang memiliki anggota yang akan dipasangkan satu dengan yang lain. Himpunan A merupakan daerah asal dan himpunan B adalah daerah kawan. Sedangkan daerah hasil adalah irisan himpunan A dan B (AnB)

Relasi juga dapat terbentuk apabila ada turan yang mengaitkan antara anggota himpunan yang satu dengan anggota himpunan lain.

Daerah asal atau biasa disebut domain suatu relasi yaitu himpunan tidak kosong dimana sebuah relasi didefinisikan.

Daerah kawan atau biasa disebut kodomain suatu relasi adalah himpunan tidak kosong dimana anggota domain memiliki pasangan sesuai relasi yang didefinisikan.

Daerah hasil atau biasa disebut range suatu relasi adalah sebuah himpunan bagian dari daerah kawan (kodomain) yang anggotanyan adalah pasangan anggota domain yang memenuhi relasi yang didefinisikan.

contoh :

Dari gambar diatas dapat kita ketahui bahwa yang menjadi relasinya adalah makanan kesukaan. Karena yang menghubungkan himpunan siswa ke himpunan makanan yaitu makanan kesukaan.

Berdasarkan contoh diatas yang menjadi daerah asal adalah himpunan siswa. Sedangkan yang menjadi daerah kawan adalah himpunan makanan. Kemudian yang menjadi daerah hasil adalah anggota himpunan makanan yang memiliki relasi dengan himpunan siswa.

B. Definisi Fungsi

     Fungsi dapat dinyatakan dengan definisi sebagai berikut:

"Misalkan A dan B adalah himpunan. Fungsi f dari A ke B adalah suatu aturan pengaitan yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

Dapat disimbolkan dengan f : A --> B, dibaca fungsi f meemtakan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B.

 Terdapat dua ciri-ciri suatu relasi dikatakan fungsi sebagai berikut :

1. Semua anggota himpunan daerah asal memiliki pasangan dengan anggota himpunan daerah kawan

2. Semua anggota himpunan daerah asal memiliki pasangan tunggal dengan anggota himpunan daerah kawan.

Dari gambar diperoleh bahwa relasi yang pertama (gambar dikiri) memenuhi definisi dikatakan fungsi. Sedangkan pada relasi kedua (gambar kanan) tidak lah sebuah fungsi karena terdapat anggota himpunan daerah asal (Himpunan P) memiliki lebih dari satu pasangan.

Sifat-Sifat Logaritma SMA Kelas X

A. Logaritma

Logaritma adalah kebalikan dari bilangan eksponen. Jika halnya dalam eksponen dengan bilangan berpangkat yaitu aⁿ = x (dibaca: a pangkat n sama dengan x) . Maka dapat dinyatakan kedalam logaritma sebagai berikut: 

                                          ^alog x = n

Keterangan :

                    a = bilangan pokok atau basis logaritma

                    x = numerus 

                    n = hasil logaritma 

Contoh :     ³log 81 = 4         karena untuk mencari 81 = 3⁴

                   ⁵log 25 = 2         karena untuk mencari 25 = 5²                

                   ²log 32 = 5         karena untuk mencari 32 = 2⁵

Dengan demikian disimpulkan bahwa untuk mendapatkan hasil logaritma suatu bilangan maka bilangan tersebut harus diubah kedalam bentuk perpangkatan dengan bilangan pokok sama dengan bilangan pokok bentuk logaritmanya. 

B. Sifat - Sifat Logaritma

     Dalam logaritma terdapat beebrapa sifat yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu permasalah logaritma. Berikut sifat-sifat logaritma :

a. Sifat 1    

                               ^alog a = 1   

artinya jika setiap bilangan pokok dan numerus nya bernilai sama maka akan menghasilkan sama dengan 1. Hal ini disebabkan oleh a =  a¹  Sesuai dengan sifat-sifat eksponen sebelumnya.                       

b. Sifat 2

                               ^alog 1 = 0   

artinya untuk setiap bilangan numerusnya adalah 1 maka hasil logaritmanya akan selalu bernilai 0. Hal ini disebabkan karena 1 =  a⁰ Sesuai dengan sifat-sifat eksponen pada pembahasan sebelumnya.

c. Sifat 3

                            ^alog b +  ^alog c =  ^alog bc

artinya dua logaritma yang mempunyai bilangan pokok yang sama apabila dijumlahkan akan menghasilkan nilai yang sama dengan logaritma dengan bilangan pokok tersebut dengan numerusnya adalah perkalian kedua numerus masing-masing.

d. Sifat 4

                            ^alog b -  ^alog c =  ^alog b/c

artinya dua logaritma yang mempunyai bilangan pokok yang sama apabila dikurangkan akan menghasilkan nilai yang sama dengan logaritma dengan bilangan pokok tersebut dengan numerusnya adalah pembagian kedua numerus masing-masing dengan penyebut adalah numerus bilangan logaritma yang pertama. 

e. Sifat 5

                             ^alog xⁿ = n . ^alog x

Artinya dalam bilangan logaritma terdapat numerus adalah bilangan eksponen maka pangkatnya dapat dijadikan koefisien dari bilangan logaritma tersebut.

f. Sifat 6

                             

g. Sifat 7

                          ^alog b. ^blog c =  ^alog c
Artinya jika dua bilangan logaritma dikalikan dengan numerus pada bilangan pertama adalah sama dengan bilangan pokok pada bilangan kedua maka hasil logaritmanya akan menghasilkan seperti diatas.