Penjelasan Rumus Teorema Pythagoras Pada Bangun Datar, Contoh Soal dan Pembahasannya

Rumus Teorema Pythagoras Pada Bangun Datar - Bangun datar merupakan bangun dua dimensi dimana hanya terdapat sisi panjang dan lebar dan dibatasi oleh garis lengkung dan garis lurus. Seperti yang kita ketahui, bangun datar terdiri dari delapan jenis yaitu persegi, persegi panjang, jajar genjang, trapesium, segitiga, layang - layang, belah ketupat, dan yang terakhir adalha lingkaran. Masing - masing dari bangun datar tersebut memiliki rumus luas dan keliling yang berbeda dan terkadang disaat kita menghitung rumus - rumus tersebut dibutuhkan perhitungan yang menggunakan rumus teorema Pythagoras.

Penggunaan Rumus Teorema Pythagoras pada Bangun Datar

Mencari diagonal bidang pada persegi dan persegi panjang

Dalam menentukan bidang diagonal pada persegi panjang, kalian bisa menggunakan rumus teorema pythagoras jika kalian telah mengetahui panjang dan lebarnya. Sementara rumus pythagoras bisa digunakan dalam mencari bidang diagonal pada persegi panjang jika panjang sisinya sudah diketahui. Untuk lebih jelasnya, perhatikan baik - baik contoh soal berikut ini :

Contoh Soal 1 :

Panjang dan lebar sebuah persegi panjang berturut - turut adalah 20 cm dan 15 cm. Maka tentukanlah panjang salah satu diagonal pada persegi panjang tersebut!

Penyelesaian :

Diagonal = √(panjang² + lebar²)
                = √(20² + 15²)
                = √400+ 225

                = √625

                = 25 cm


Mencari diagonal layang - layang dan belah ketupat

Rumus Pythagoras bisa digunakan untuk mencari salah satu diagonal pada layang - layng dan belah ketupat jika panjang sisi dan salah satu diagonal sisinya sudah diketahui. Perhatikan baik - baik kedua contoh soal di bawah ini :

Contoh Soal 2 :

Tentukanlah luas dari bangun layang - layang berikut ini :

Penyelesaian :
Karena diagonal EG dan FH berpotongan di titik M, maka terlebih dahulu kita mencari panjang EM :

EM = ½ x EG
       = ½ x 16
       = 8 cm

Setelah itu, gunakan teorema pythagoras untuk mengetahui panjang FM dan HM :

FM = √(EF² - EM²)
       = √(15² - 8²)
       = √(225 - 64)
       = √161
       = 12,6 cm

HM = √(EH² - EM²)
        = √(20² - 8²)
        = √(400 - 64)
        = √336
        = 18,3 cm

Panjang diagonal FH adalah :

FH = FM + HM
      = 12,6 + 18,3
      = 30,9 cm


Sekarang kita cari luas dari layang - layang tersebut :
L = ½ x d1 x d2
   = ½ x EG x FH
   = ½ x 16 x 30,9
   = ½ x 494,4
   = 247,2 cm²


Contoh Soal 3 :

Perhatikan baik - baik gambar belah ketupat di bawah ini :

Jika diketahui panjang sisi belah ketupat PQRS adalah 15 cm dan panjang salah satu diagobalnya adalah 24 cm. Maka berapakah luas dari belah ketupat tersebut?

Penyelesaian :
Jika perpotongan diagonal PR dan QS pada belah ketupat itu ada pada titik X, maka :
PX = ½ x PR
      = ½ x 24
      = 12 cm

Sekarang kita gunakan rumus pythagoras untuk mengetahui panjang QX :
QX = √(PQ² - PX²)
       = √(15² - 12²)
       = √(225 - 144)
       = √81
       = 9 cm

QS = 2 x QX
      = 2 x 9
      = 18 cm

Sekarang tinggal menghitung luas belah ketupat tersebut :
L = ½ x d1 x d2
   = ½ x 24 x 18
   = ½ x 432
   = 216 cm²



Mencari Tinggi Trapesium dan Jajar Genjang

Untuk mengetahui bagaimana cara menggunakan rumus teorema pythagoras dalam mencari tinggi dari bangun datar trapesium ataupun jajar genjang, kalian bisa menyimak pembahasan contoh soal di bawah ini :

Contoh Soal 4 :
Perhatikan gambar trapesium berikut ini :

Jika diketahui panjang sisi PR = 40 cm, RS = 40 cm, dan PQ = 64 cm. Berapakah luas trapesium tersebut?

Penyelesaian :
Kita bisa melihat bahwa trapesium di atas merupakan trapesium sama kaki, maka kita bisa mengetahui panjang PR = QS, panjang PT = UQ dan panjang RS = TU, sehingga :

Panjang PT = PQ - TU - UQ
                    = 64 cm - 40 cm - UQ

Karena UQ = PT, maka :

2 x PT = 24 cm
PT = 24 / 12 cm
      = 12 cm

Sekarang kita bisa mencari tinggi trapesium dengan menggunakan teorema pythagoras sebagai berikut :

RT = √(PR² - PT²)
      = √(40² - 12²)
      = √(1600 - 144)
      = √1456
      = 38,15 cm

Sekarang kita bisa mencari luas trapesium dengan rumus berikut :

L = ½ x jumlah sisi sejajar x tinggi
    = ½ x (PQ + RS) x RT
    = ½ x (64 cm + 40 cm) x 38,15 cm
    = ½ x 3967,6
    = 1983,8 cm


Contoh Soal 5 :
Hitunglah luas jajar genjang di bawah ini :

Penyelesaian :
Langkah pertama kita tentukan dulu panjang PT :
PQ = RS
PT + TQ = RS
PT = RS - TQ
      = 30 - 25
      = 5 cm

Kemudian kita mencari tinggi dari jajar genjang tersebut :
ST = √(PS² - PT²)
      = √(23² - 5²)
      = √(529 25)
      = √504
      = 22,4 cm

Barulah kita bisa mencari luas dari jajar genjang tersebut :
L = a xt
    = PQ x ST
    = 30 cm x 22,4 cm
    = 673,4 cm²

baca juga Soal Dan Pembahasan Barisan dan Deret Geometri

Contoh Soal Dan Pembahasan Penerapan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dalam Soal Cerita

Penerapan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dalam Soal Cerita

Contoh Soal 1 :
Dalam sebuah pertunjukkan seni terjual 500 lembar karcis yang terdiri dari karcis kelas ekonomi dan karcis kelas utama. harga karci untuk kelas ekonomi adalah Rp. 6000,00 dan untuk kelas utama yaitu Rp. 8000,00. Jika hasil penjualan dari seluruh karcis yang terkumpul  berjumlah Rp. 3.360.000,00. Berapakah jumlah karcis kelas ekonomi yang terjual ?

Penyelesaiannya :
Misalkan jumlah karcis kelas ekonomi = a
                jumlah karcis kelas utama = b

Maka :
a + b = 500 ... (1)
6000a + 8000b = 3.360.000a 6a + 8b = 3.360 ... (2)

Eliminasi b
a + b = 500          | x8
6a + 8b = 3.360  | x1

8a + 8b = 4000
6a + 8b = 3.360 -
        2a = 640
          a = 320

Jadi, banyaknya karcis kelas ekonomi yang terjual adalah 320 karcis.



Contoh Soal 2 :
Heru dan Heryu bekerja disebuah pabrik sendal. Heru mampu menyelesaikan 3 buah pasang sendal setiap jam dan Heryu mampu menyelesaikan 4 buah pasang sendal setiap jam. Jumlah kerja Heru dan Heryu adalah 16 jam sehari, dengan jumlah sendal yang dibuat oleh keduanya adalah 55 pasang sendal. Jika jam kerja keduanya berbeda tentukan jam kerja mereka masing - masing!

Penyelesaian :
Misalkan jam kerja Heru = a
                jam kerja Heryu = b

Maka :
3a + 4b = 55 | x1
a  + b = 16    | x3

3a + 4b = 55
3a + 3b = 48 -
          b = 7
a = 16 - 7 = 9

Jadi, Heru bekerja selama 9 jam dan Heryu bekerja selama 7 jam dalam sehari.



Contoh Soal 3 :
Jumlah dua bilangan adalah 200. Dan selisih bilangan itu adalah 108. Tentukan bilangan yang paling besar diantara keduanya!

Penyelesaian :
Misalkan bilangan yang terbesar a dan yang terkecil adalah b

Maka :
a + b = 200
a - b = 108 +
   2a = 308
     a = 154

Jadi, bilangan yang terbesar adalah 154.



Contoh Soal 4 :
Dody membeli 4 buku dan 5 pensil seharga Rp. 24.000,00. Ecy membeli 6 buku dan 2 pensil seharga Rp. 27.200,00. Jika Ryan ingin membeli 3 buku  dan 2 pensil berapa yang harus dibayar oleh Ryan?

Penyelesaian:
Misalkan buku = b dan pensil = p
4b + 5p = 24.000 | x2
6b + 2p = 27.200 | x5

8b   + 10p =  48.000
30b + 10p = 136.000 -
         -22b = 88.000
              b = 4000

4b + 5p = 24.000
4(4000) + 5p = 24.000
                 5p = 24.000 - 16.000
                      = 8000
                   p = 8000 : 5
                      = 1600

3b (buku) + 2p (pensil) = Rp. ...?

Jawab :
3b + 2p = 3(4000) + 2(1600)
              = 12.000 + 3.200
              = 15.200

Jadi, Ryan harus membayar Rp. 15.200,00



Contoh Soal 5 :
Sebuah toko menjual dua jenis tepung sebanyak 50 kg. Tepung jenis I seharga Rp. 6000,00 dan tepung jenis II seharga Rp. 6.200,00. Seluruh tepung habis terjual dan pedagang mendapatkan uang sebanyak Rp. 306.000,00. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut !

Penyelesaian :
Misalkan berat tepung jenis I = x dan tepung jenis II = y

Maka :
x + y = 50 kg
6000x + 6200y = 306.000 à 60x + 62y = 3.060

Jadi, persamaannya adalah x + y = 50 dan 60x + 62y = 3.060

baca juga Menyelesaikan SPLDV Dengan Metode Grafik

Rangkuman Materi Contoh Penerapan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dalam Soal Cerita Lengkap

Contoh Soal Cerita SPLDV - Dalam artikel sebelumnya telah disampaikan pembasan materi mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Materi kali ini akan membahas mengenai penerapan SPLDV dalam penyelesaian soal cerita.

Penerapan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dalam Soal Cerita

Contoh Soal 1 :
Dalam sebuah pertunjukkan seni terjual 500 lembar karcis yang terdiri dari karcis kelas ekonomi dan karcis kelas utama. harga karci untuk kelas ekonomi adalah Rp. 6000,00 dan untuk kelas utama yaitu Rp. 8000,00. Jika hasil penjualan dari seluruh karcis yang terkumpul  berjumlah Rp. 3.360.000,00. Berapakah jumlah karcis kelas ekonomi yang terjual ?

Penyelesaiannya :
Misalkan jumlah karcis kelas ekonomi = a
                jumlah karcis kelas utama = b

Maka :
a + b = 500 ... (1)
6000a + 8000b = 3.360.000a 6a + 8b = 3.360 ... (2)

Eliminasi b
a + b = 500          | x8
6a + 8b = 3.360  | x1

8a + 8b = 4000
6a + 8b = 3.360 -
        2a = 640
          a = 320

Jadi, banyaknya karcis kelas ekonomi yang terjual adalah 320 karcis.



Contoh Soal 2 :
Heru dan Heryu bekerja disebuah pabrik sendal. Heru mampu menyelesaikan 3 buah pasang sendal setiap jam dan Heryu mampu menyelesaikan 4 buah pasang sendal setiap jam. Jumlah kerja Heru dan Heryu adalah 16 jam sehari, dengan jumlah sendal yang dibuat oleh keduanya adalah 55 pasang sendal. Jika jam kerja keduanya berbeda tentukan jam kerja mereka masing - masing!

Penyelesaian :
Misalkan jam kerja Heru = a
                jam kerja Heryu = b

Maka :
3a + 4b = 55 | x1
a  + b = 16    | x3

3a + 4b = 55
3a + 3b = 48 -
          b = 7
a = 16 - 7 = 9

Jadi, Heru bekerja selama 9 jam dan Heryu bekerja selama 7 jam dalam sehari.



Contoh Soal 3 :
Jumlah dua bilangan adalah 200. Dan selisih bilangan itu adalah 108. Tentukan bilangan yang paling besar diantara keduanya!

Penyelesaian :
Misalkan bilangan yang terbesar a dan yang terkecil adalah b

Maka :
a + b = 200
a - b = 108 +
   2a = 308
     a = 154

Jadi, bilangan yang terbesar adalah 154.



Contoh Soal 4 :
Dody membeli 4 buku dan 5 pensil seharga Rp. 24.000,00. Ecy membeli 6 buku dan 2 pensil seharga Rp. 27.200,00. Jika Ryan ingin membeli 3 buku  dan 2 pensil berapa yang harus dibayar oleh Ryan?

Penyelesaian:
Misalkan buku = b dan pensil = p
4b + 5p = 24.000 | x2
6b + 2p = 27.200 | x5

8b   + 10p =  48.000
30b + 10p = 136.000 -
         -22b = 88.000
              b = 4000

4b + 5p = 24.000
4(4000) + 5p = 24.000
                 5p = 24.000 - 16.000
                      = 8000
                   p = 8000 : 5
                      = 1600

3b (buku) + 2p (pensil) = Rp. ...?

Jawab :
3b + 2p = 3(4000) + 2(1600)
              = 12.000 + 3.200
              = 15.200

Jadi, Ryan harus membayar Rp. 15.200,00



Contoh Soal 5 :
Sebuah toko menjual dua jenis tepung sebanyak 50 kg. Tepung jenis I seharga Rp. 6000,00 dan tepung jenis II seharga Rp. 6.200,00. Seluruh tepung habis terjual dan pedagang mendapatkan uang sebanyak Rp. 306.000,00. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut !

Penyelesaian :
Misalkan berat tepung jenis I = x dan tepung jenis II = y

Maka :
x + y = 50 kg
6000x + 6200y = 306.000 à 60x + 62y = 3.060

Jadi, persamaannya adalah x + y = 50 dan 60x + 62y = 3.060

Pembahasan dan soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Contoh Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan Pembahasannya

Contoh Soal 1 :
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan menggunakan metode substitusi :
x + y = 8
2x + 3y = 19

Penyelesaian :
x + y = 8 ... (1)
2x + 3y = 19 ... (2)
x + y = 8
x = 8 - y

Substitusikan x = y - 8 ke dalam persamaan 2

2 (8 - y) + 3y = 19
16 - 2y + 3y = 19
16 + y = 19
y = 3

Substitusikan y = 3 ke dalam persamaan 1

x + 3 = 8
x = 5

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 5 dan y = 3


Contoh Soal 2 :
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut ini dengan menggunakan metode eliminasi :
2x - y = 7
x + 2y = 1

Penyelesaian :

Eliminasi x
2x - y = 7 | x1 => 2x - y = 7 ... (3)
x + 2y = 1 | x2 => 2x - 4y = 2 ... (4)

2x - y = 7
x + 2y = 1 -
     -5y = 5
y = -1

Eliminasi y
2x - y = 7 | x2 => 4x - 2y = 14 ... (5)
x + 2y = 1 | x1 => x + 2y = 1 ... (6)

4x - 2y = 14
  x - 2y = 1 -
       5x = 15
         x = 3

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 3 dan y = -1



Contoh Soal 3 :
Tentukan penyelesaian dari SPLDV di bawah ini dengan menggunakan metode campuran :
x + y = -5
x - 2y = 5

Penyelesaian :

Eliminasi x
x + y = -5
x - 2y = 5 -
     3y = -9
       y = -3

Substitusi y
x + (-3) = -5
x = -2

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = -2 dan y = -3



Contoh Soal 4 :
Umur Shinta 7 tahun lebih muda dari umur Cory. Jumlah umur mereka adalah 43 tahun. Tentukanlah masing - masing umur mereka!

Penyelesaian :
Misalkan umur Shinta = x
                 umur Cory = y
Maka :
y - x = 7 ... (1)
y + x = 43 ... (2)

y = 7 + x

Substitusikan y = 7 + x ke dalam persamaan 2

7 + x + x = 43
7 + 2x = 43
2x = 36
x = 18
y = 7 + 18 = 25

Jadi, umur Shinta adalah 18 tahun dan umur Cory 25 tahun.


Contoh Soal 5 :
Sebuah halaman rumah memiliki ukuran panjang 8 meter lebih panjang dari lebarnya. Keliling halaman tersebut adalah 44 meter. Tentukan luas halaman tersebut!

Penyelesaian :
Luas halaman = p x l
P = Panjang halaman
L = Lebar halaman

Model matematika :
P = 8 + l
k = 2p + 2l
2 (8 + l) + 2l = 44
16 + 2l + 2l = 44
16 + 4l = 44
4l = 28
l = 7

P = 7 + 8 = 15
Luas = 7 x 15 = 105 m2

Jadi, luas halaman rumah tersebut adalah 105 m2
baca juga Matematika SMP Kelas VII Aritmetika Sosial BUNGA TABUNGAN DAN PAJAK

Rangkuman Materi Contoh Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Lengkap

Contoh Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel - Dalam artikel sebelumnya Belajar Matematikaku telah menjelaskan materi mengenai Penjelasan Metode Substitusi dan Eliminasi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Jika kalian sudah mempelajari materi tersebut dengan baik maka kalian akan lebih mudah untuk memahami materi yang akan disampaikan dalam pembahasan kali ini.

Contoh Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan Pembahasannya

Contoh Soal 1 :
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan menggunakan metode substitusi :
x + y = 8
2x + 3y = 19

Penyelesaian :
x + y = 8 ... (1)
2x + 3y = 19 ... (2)
x + y = 8
x = 8 - y

Substitusikan x = y - 8 ke dalam persamaan 2

2 (8 - y) + 3y = 19
16 - 2y + 3y = 19
16 + y = 19
y = 3

Substitusikan y = 3 ke dalam persamaan 1

x + 3 = 8
x = 5

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 5 dan y = 3


Contoh Soal 2 :
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut ini dengan menggunakan metode eliminasi :
2x - y = 7
x + 2y = 1

Penyelesaian :

Eliminasi x
2x - y = 7 | x1 => 2x - y = 7 ... (3)
x + 2y = 1 | x2 => 2x - 4y = 2 ... (4)

2x - y = 7
x + 2y = 1 -
     -5y = 5
y = -1

Eliminasi y
2x - y = 7 | x2 => 4x - 2y = 14 ... (5)
x + 2y = 1 | x1 => x + 2y = 1 ... (6)

4x - 2y = 14
  x - 2y = 1 -
       5x = 15
         x = 3

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 3 dan y = -1



Contoh Soal 3 :
Tentukan penyelesaian dari SPLDV di bawah ini dengan menggunakan metode campuran :
x + y = -5
x - 2y = 5

Penyelesaian :

Eliminasi x
x + y = -5
x - 2y = 5 -
     3y = -9
       y = -3

Substitusi y
x + (-3) = -5
x = -2

Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = -2 dan y = -3



Contoh Soal 4 :
Umur Shinta 7 tahun lebih muda dari umur Cory. Jumlah umur mereka adalah 43 tahun. Tentukanlah masing - masing umur mereka!

Penyelesaian :
Misalkan umur Shinta = x
                 umur Cory = y
Maka :
y - x = 7 ... (1)
y + x = 43 ... (2)

y = 7 + x

Substitusikan y = 7 + x ke dalam persamaan 2

7 + x + x = 43
7 + 2x = 43
2x = 36
x = 18
y = 7 + 18 = 25

Jadi, umur Shinta adalah 18 tahun dan umur Cory 25 tahun.


Contoh Soal 5 :
Sebuah halaman rumah memiliki ukuran panjang 8 meter lebih panjang dari lebarnya. Keliling halaman tersebut adalah 44 meter. Tentukan luas halaman tersebut!

Penyelesaian :
Luas halaman = p x l
P = Panjang halaman
L = Lebar halaman

Model matematika :
P = 8 + l
k = 2p + 2l
2 (8 + l) + 2l = 44
16 + 2l + 2l = 44
16 + 4l = 44
4l = 28
l = 7

P = 7 + 8 = 15
Luas = 7 x 15 = 105 m2

Jadi, luas halaman rumah tersebut adalah 105 m2


Demikianlah pembahasan materi mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel. Semoga kalian bisa memahami pembahasan dan contoh - contoh soal yang telah diberikan dengan mudah sehingga kalain tidak akan mengalami kesulitan dalam menyelesaiakan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Selamat belajar!

Pengertian Fungsi dan Macam-macam Fungsi dalam Matematika

Relasi dan fungsi memiliki hubungan yang erat karena masih membahas mengenai hubungan antar himpunan. Ada banyak contoh yang bisa menggambarkan sebuah relasi antara satu himpunan dengan himpunan yang lainnya seperti bisa kalian lihat pada gambar berikut ini :

Gambar di atas menunjukkan relasi antara sebuah negara dengan ibukotanya. Pada diagram tersebut kita bisa melihat bahwa tiap - tiap anggota pada himpunan A memiliki pasangan yang tepat pada masing - masing anggota himpunan B. Contoh lain dari relasi bisa kalian lihat pada diagram panah berikut ini :

Sama halnya dengan diagram panah yang pertama, pada diagram panah ini masing - masing anggota pada himpunan P memiliki pasangan yang tepat pada tiap anggota himpunan Q. Konsep relasi antara kedua himpunan (A dan B) serta (P dan Q) dikenal dengan sebutan Fungsi atau Pemetaan. Artinya kedua diagram tersebut bisa disebut dengan fungsi A ke B atau fungsi P ke Q.

Berdasarkan contoh di atas disimpulkan bahwa definisi dari fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan tiap - tiap anggota yang ada pada suatu himpunan tepaat dengan tiap  - tiap anggota yang ada pada himpunan lainnya.

Pengertian dan Macam - Macam Fungsi dalam Matematika

Ketika berbicara mengenai fungsi, maka kita harus mulai terbiasa dengan beberapa istilah yang digunakan di dalamnya, diantaranya yaitu :

Domain = daerah asal
Kodomain = daerah lawan
Range = daerah hasil

Agar kalian bisa memahami istilah - istilah di atas, perhatikan baik - baik contoh soal berikut ini :

Contoh Soal :
Sebuah fungsi f dari himpunan F dan G dinyatakan dalam aturan x + 3, x F. Jika diketahui bahwa F = {2, 3, 5, 7} dan G = {1, 2, 3, ..., 12}, maka tentukanlah :

a. Himpunan pasangan berurutan dalam f
b. Domain, kodomain, dan range dari f

Penyelesaian :
a. f : x => x + 3
x = 2 => f(x) = 2 + 3 = 5
x = 3 => f(x) = 3 + 3 = 6

x = 5 => f(x) = 5 + 3 = 8

x = 7 => f(x) = 7 + 3 = 10

Maka himpunan pasangan berurutannya adalah (x(f(x)) = {(2,5), (3,6), (5,8), (7,10)}

b. Domain (daerah asal) = {2, 3, 5, 7}
    Kodomain (daerah lawan) = {1, 2, 3, ..., 12}
    Range (daerah hasil) = {5, 6, 8, 10}

Penyajian Fungsi

Karena fungsi merupakan bentuk dari relasi, maka cara menyajikannya sama saja dengan cara penyajian relasi. Fungsi bisa disajikan dalam bentuk diagram panah, diagram kartesius, dan juga himpunan pasangan berurut.

Cara Menentukan Banyaknya Pemetaan atau Fungsi

Banyaknya pemetaan yang terbentuk dari dua buah himpunan bisa dicari dengan menggunakan rumus yang ada pada tabel berikut ini :

baca juga Matematika SMP Aritmetika Sosial RABAT, BRUTO, TARA, NETO, BUNGA

Rangkuman Materi Pengertian Fungsi dan Macam-macam Fungsi dalam Matematika Lengkap

Dalam artikel sebelumnya telah dijelaskan materi mengenai Pengertian Relasi beserta cara penyajiannya, kali ini  akan membahas materi mengenai Pengertian Fungsi dan Macam-macam Fungsi dalam Matematika. Relasi dan fungsi memiliki hubungan yang erat karena masih membahas mengenai hubungan antar himpunan. Ada banyak contoh yang bisa menggambarkan sebuah relasi antara satu himpunan dengan himpunan yang lainnya seperti bisa kalian lihat pada gambar berikut ini :

Gambar di atas menunjukkan relasi antara sebuah negara dengan ibukotanya. Pada diagram tersebut kita bisa melihat bahwa tiap - tiap anggota pada himpunan A memiliki pasangan yang tepat pada masing - masing anggota himpunan B. Contoh lain dari relasi bisa kalian lihat pada diagram panah berikut ini :

Sama halnya dengan diagram panah yang pertama, pada diagram panah ini masing - masing anggota pada himpunan P memiliki pasangan yang tepat pada tiap anggota himpunan Q. Konsep relasi antara kedua himpunan (A dan B) serta (P dan Q) dikenal dengan sebutan Fungsi atau Pemetaan. Artinya kedua diagram tersebut bisa disebut dengan fungsi A ke B atau fungsi P ke Q.

Berdasarkan contoh di atas disimpulkan bahwa definisi dari fungsi adalah relasi khusus yang memasangkan tiap - tiap anggota yang ada pada suatu himpunan tepaat dengan tiap  - tiap anggota yang ada pada himpunan lainnya.

Pengertian dan Macam - Macam Fungsi dalam Matematika

Ketika berbicara mengenai fungsi, maka kita harus mulai terbiasa dengan beberapa istilah yang digunakan di dalamnya, diantaranya yaitu :

Domain = daerah asal
Kodomain = daerah lawan
Range = daerah hasil

Agar kalian bisa memahami istilah - istilah di atas, perhatikan baik - baik contoh soal berikut ini :

Contoh Soal :
Sebuah fungsi f dari himpunan F dan G dinyatakan dalam aturan x + 3, x F. Jika diketahui bahwa F = {2, 3, 5, 7} dan G = {1, 2, 3, ..., 12}, maka tentukanlah :

a. Himpunan pasangan berurutan dalam f
b. Domain, kodomain, dan range dari f

Penyelesaian :
a. f : x => x + 3
x = 2 => f(x) = 2 + 3 = 5
x = 3 => f(x) = 3 + 3 = 6

x = 5 => f(x) = 5 + 3 = 8

x = 7 => f(x) = 7 + 3 = 10

Maka himpunan pasangan berurutannya adalah (x(f(x)) = {(2,5), (3,6), (5,8), (7,10)}

b. Domain (daerah asal) = {2, 3, 5, 7}
    Kodomain (daerah lawan) = {1, 2, 3, ..., 12}
    Range (daerah hasil) = {5, 6, 8, 10}

Penyajian Fungsi

Karena fungsi merupakan bentuk dari relasi, maka cara menyajikannya sama saja dengan cara penyajian relasi. Fungsi bisa disajikan dalam bentuk diagram panah, diagram kartesius, dan juga himpunan pasangan berurut.

Cara Menentukan Banyaknya Pemetaan atau Fungsi

Banyaknya pemetaan yang terbentuk dari dua buah himpunan bisa dicari dengan menggunakan rumus yang ada pada tabel berikut ini :

Demikianlah pembahasan materi mengenai Pengertian Fungsi dan Macam-macam Fungsi dalam Matematika. Semoga kalian bisa memahami penjelasan di atas dengan mudah sehingga artikel ini bisa membantu kalian dalam mengerjakan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Selamat belajar!

Rangkuman Materi Penjelasan Perbedaan Permutasi dan Kombinasi Matematika, Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap Lengkap

Permutasi dan Kombinasi Matematika - Materi permutasi dan kombinasi matematika berkaitan dengan materi peluang yang bisa kalian akses pada artikel yang membahas tentang Pengertian dan Rumus Peluang Matematika.

Pengertian Permutasi dan Kombinasi Matematika

Permutasi

Dalam ilmu matematika permutasi diartikan sebagai sebuah konsep penyusunan sekumpulan objek/angka menjadi beberapa urutan berbeda tanpa mengalami pengulangan.

Di dalam permutasi, urutan sangat diperhatikan. Setiap objek yang dihasilkan harus berbeda antara satu dengan yang lain. Sebagai contoh, urutan huruf {ABC} berbeda dengan {CAB} begitu juga dengan {BAC} dan {ACB}.
Rumus untuk mencari banyaknya permutasi n unsur jika disusun pada unsur k dimana k n adalah :

Rumus Permutasi

P(n,k) =  n!  
            (n-k)!

Untuk memahami rumus tersebut, perhatikan pembahasan soal berikut ini :

Contoh Soal 1 :
Disebuah kelas terdapat 4 orang siswa yang dicalonkan untuk mengisi posisi bendahara dan sekretaris. Tentukan banyaknya cara yang bisa digunakan untuk mengisi posisi tersebut!

Penyelesaian :
Soal di atas bisa dituliskan sebagai permutasi P(4,2), n(banyaknya guru) = 4 k (jumlah posisi) = 2
Kita masukkan ke dalam rumus :

P(4,2) =   4!     = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 = 12
             (4-2)!          2 x 1            2



Contoh Soal 2 :
Berapakah banyaknya bilangan yang dibentuk dari 2 angka berbeda yang bisa kita susun dari urutan angka 4, 8, 2, 3, dan 5?

Penyelesaian :
Pertanyaan di atas bisa disimpulkan sebagai permutasi yang terdiri dari 2 unsur yang dipilih dari 5 unsur, maka bisa dituliskan sebagai P(5,2). Lalu, kita masukkan ke dalam rumus :

P(5,2) =   5!    = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 = 20
             (5-2)!           3 x 2 x 1             6

Maka ada 20 cara yang bisa dilakukan untuk menyusun bilangan tersebut menjadi 2 angka yang berbeda - beda (48, 42, 43, 45, 84, 82, 83, 85, 24, 28, 23, 25, 34, 38, 32, 35, 54, 53, 52).

Kombinasi

Kombinasi merupakan sebuah kumpulan dari sebagian atau seluruh objek dengan tidak memperhatikan urutannya. Di dalam kombinasi {AB} dianggap sama dengan {BA} sehingga sebuah kombinasi dari dua objek yang sama tidak dapat terulang.

Rumus kombinasi dari suatu himpunan yang mempunyai n elemen bisa dituliskan sebagai berikut :

Rumus Kombinasi

C(n,r) = nCr = ⁿCr =     n!    
                                   r!(n-r)!

Perhatikan baik - baik penggunaan rumus tersebut untuk menyelesaikan soal - soal di bawah ini :

Contoh Soal :
Manuel Pelegrini membawa 16 pemain saat Manchester City melawan Liverpool di Etihad Stadium. 11 orang diantaranya akan dipilih untuk bermain pada babak pertama. Jika kita tidak memperhatikan posisi pemain, berapakah banyaknya cara yang bisa diambil oleh pelatih untuk memilih pemain?

Penyelesaian :
Karena tidak mementingkan posisi pemain, maka kita gunakan rumus kombinasi :

¹⁶C11 =      16         = 16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11!
            11!(16-11)!                   11!5!

     =       524160        = 524160 = 4368
        5 x 4 x 3 x 2 x 1       120


Contoh Soal :
Sebuah ember berisi 1 buah alpukat, 1 buah pir, 1 buah jeruk dan 1 buah salak. Berapakah banyaknya kombinasi yang tersusun dari 3 macam buah?

Penyelesaian :
Diketahui n = 4 dan r = 3, maka :

⁴C3 =    4!      = 4 x 3 x 2 x 1 =      24    = 24 = 4
         3!(4-3)!           3!1!           3 x 2 x 1    6


Demikianlah pembahasan materi mengenai Penjelasan Perbedaan Permutasi dan Kombinasi Matematika, Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap. Semoga kalian bisa memahami penjelasan dan contoh - contoh soal yang diberikan dengan mudah sehingga kalian tidak akan mengalami kesulitan dalam mengerjakan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Selamat belajar!

Rangkuman Materi Materi Pengertian dan Rumus Peluang Matematika SMP Terlengkap Lengkap

Pengertian dan Rumus Peluang Matematika - Jika kalian pernah bermain ular tangga tentu kalian akan menggunakan dadu untuk menentukan jumlah langkah yang harus kalian ambil. Pada proses pelemparan dadu, hasil atau angka yang mungkin muncul adalah 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Nah, kemungkinan munculnya angka pada saat melempar dadu adalah salah satu contoh Peluang Matematika.

Contoh lain dari peluang matematika adalah pelemparan koin. Pada saat melempar koin ada dua buah kemungkinan sisi yang muncul. Sisi yang pertama adalah angka (A) dan sisi yang kedua adalah gambar (A). Materi kali ini akan membahas mengenai pengertian dan rumus peluang dalam matematika. Perhatikan baik - baik pembahasan berikut ini:

Memahami Definisi dan Rumus Peluang dalam Matematika

Definisi Peluang
Peluang didefinisikan sebagai sebuah cara yang dilakukan untuk mengetahui kemungkinan terjadinya sebuah peristiwa.

Di dalam materi mengenai peluang, dikenal beberapa istilah yang sering digunakan, seperti ;

Ruang Sampel
Merupakan himpunan dari semua hasil percobaan yang mungkin terjadi.

Titik Sampel
Merupakan anggota yang ada di dalam ruang sampel.

Kejadian :
Merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.

RUMUS PELUANG MATEMATIKA

Frekuensi merupakan perbandingan antara banyaknya percobaan yang dilakukan dengan banyaknya kejadian yang diamati. Frekuensi bisa diketahui dengan menggunakan rumus :

Apabila setiap titik sampel dari anggota ruang sampel S mempunyai peluang yang sama, maka peluang kejadian K yang jumlah anggotanya dinyatakan dalam n(K)  bisa diketahui dengan rumus :

Peluang Munculnya kejadian bisa diperkirakan melalui notasi berikut ini :

Jika nilai P(K) = 0 maka kejadian K tersebut sangat mustahil untuk terjadi

Jika nilai P(K) = 1 maka kejadian K tersebut pasti akan terjadi


Perhatikan baik - baik contoh soal di bawah ini :

Contoh Soal :
Pada proses pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang munculnya mata dadu yang berangka ganjil

Penyelesaian :
Ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(S) = 6

Mata dadu ganjil = {1, 3, 5}
n(S) = 3

maka P(K) = 3/6 = 1/2



Kejadian Majemuk

Kejadian Majemuk merupakan dua atau lebih kejadian yang dioperasikan sehingga terbentuklah sebuah kejadian yang baru.

Suatu kejadian K dan kejadian Komplemen berupa K' memenuhi persamaan :

P(K) + P(K') = 1 atau P(K') = 1 - P(K)

Contoh Soal :
Dari seperangkat kartu bridge, diambillah satu buah kartu secara acak. Tentukan peluang terambilnya kartu yang bukan As!

Penyelesaian :
Jumlah kartu bidge = n(S) = 52
Jumlah kartu As = n(K) = 4
P(K) = 4/52 = 1/13

Peluang yang terambilnya bukan kartu As = P(K') = 1-P(K) = 1 - 1/13 = 12/13


PENJUMLAHAN PELUANG

Kejadian Saling Lepas
Dua buah kejadia A dan B dikatakan saling lepas jika tidak ada satupun elemen pada kejadian A yang sama dengan elemen yang ada pada kejadian B. Untuk dua buah kejadian yang saling lepas, maka peluang salah satu A atau B mungkin terjadi, rumusnya adalah :

P(A u B) = P(A) + P(B)

Contoh Soal :
Dua buah dadu masing - masing berwarna merah dan putih dilempar secara bersamaan sebanyak satu kali, tentukanlah peluang munculnya mata dadu yang berjumlah 3 atau 10!

Penyelesaian :
Hasil pelemparan dadu tersebut bisa digambarkan dengan tabel berikut ini :

Kejadian mata dadu berjumlah 3 ditandai dengan warna kuning
A = {(1, 2), (2, 1)}
n(A) = 2

Kejadian mata dadu berjumlah 10 ditandai dengan warna biru
B = {(4,6), (5,5), (6,4)}

Karena tidak ada elemen yang sama pada A dan B digunakan rumus :

P(A u B) = P(A) + P(B)
               = 2/36 + 3/36
               = 5/36


Kejadian Tidak Saling Lepas
Artinya ada elemen A yang sama dengan elemen B, rumusnya adalah sebagai berikut :

P(A u B) = (P(A) + P(B) - P(A n B)

Contoh Soal :
Sebuah kartu diambil dari tumpukkan kartu bridge secara acak. Tentukan peluang dari kartu yang terambil adalah kartu hati dan kartu bergambar (K, Q, J)!

Penyelesaian :
Jumlah kartu bridge = n(S) = 52
Jumlah kartu hati = n(A) = 13
Jumlah kartu bergambar = n(B) = 12

Karena ada kartu bergambar yang merupakan kelompok kartu hati (J hati, Q hati, dan K hati) maka A dan B tidak saling lepas sehingga digunakan rumus :

P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)
               = 13/52 + 12/52 - 3/52
               = 22/52
               = 11/26



Kejadian Saling Bebas
Dua buah kejadian bisa disebut saling bebas bila munculnya kejadian A tidak berpengaruh pada munculnya kejadian B sehingga peluang kejadian A dan B terjadi bersamaan bisa dituliskan menjadi :

P(A n B) = P(A) x P(B)

Contoh Soal :
Dalam percobaan pelemparan dua buah dadu, tentukan peluang munculnya angka genap pada dadu pertama dan angka ganjil prima pada dadu kedua!

Penyelesaian :
Misalkan A = Kejadian munculnya mata dadu genap pada dadu pertama = {2,4,6} maka P(A) = 3/6

Misalkan B = Kejadian munculnya mata dadu ganjil prima pada dadu kedua = {3,5} maka P(B) = 2/6

Karena kejadian A tidak berpengaruh pada kejadian B maka digunakan rumus :

P(A n B) = P(A) x P(B)
               = 3/6 x 2/6
               = 1/6




Kejadian Bersyarat
Kejadian bersyarat terjadi jika kejadian A mempengaruhi munculnya kejadian B atau sebaliknya. Maka bisa dituliskan menjadi :

P(A n B) = P(A) x P(B/A)

atau

P(A n B) = P(B) x P(A/B)


Contoh Soal :
Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 4 bola hijau. Jika diambil dua buah bola satu persatu tanpa adanya pengembalian, tentukanlah peluang bola yang terambil adalah bola merah pada pengembalian pertama dan bola hijau pada pengembalian kedua!

Penyelesaian :
Pada pengembalian pertama tersedia 5 bola merah dari 9 bola yang ada. Maka :
P(M) = 5/9

Pada pengembalian kedua ada 4 bola hijau dari 8 bola yang tersisa (dengan syarat bola merah telah terambil). Maka :
P(H/M) = 4/8

Karena kejadiannya saling berpengaruh, maka menggunakan rumus :

P(M n H) = P(M) x P(H/M)
                = 5/9 x 4/8
                = 5/18


Demikianlah pembahasan materi mengenai Pengertian dan Rumus Peluang Matematika SMP Terlengkap. Semoga kalian bisa memahami penjelasan dan contoh - contoh soal yang diberikan dengan mudah sehingga artikel ini bisa membantu kalian dalam menyelesaikan soal - soal yang berkaitang dnegan artikel ini.

Rangkuman Materi Cara Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) SMA Lengkap

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel - Sistem persamaan linear tiga variabel bisa diartikan sebagai himpunan dari tiga buah persamaan garis lurus dimana masing - masing persamaan tersebut terdiri dari tiga buah peubah (variabel). Ada beberapa metode yang bisa kita pakai untuk menyelesaikan sistem persamaan ini, yaitu metode substitusi, eliminasi, dan determinan. Agar kalian bisa lebih memahami materi ini, sebaiknya kalian pelajari dulu materi tentang Sistem Persamaan Linear Dua Variabel.

Langkah Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sama halnya dengan prinsip penyelesaian persamaan yang lain, langkah awal kita harus mengurangkan (mengeliminasi) dua persamaan untuk memperoleh persamaan baru dengan menghilangkan satu buah variabel. Simak baik - baik contoh soal dan pembahasan di bawah ini ;

Contoh Soal :
Tentukan himpunan penyelesaian x, y dan z dari persamaan berikunt:

3x - y + 2z = 15    ......(i)
2x + y + z = 13     ......(ii)
3x + 2y + 2z = 24 ......(iii)

Penyelesaian :
Gunakan metode eliminasi terhadap 2 persamaan terlebih dahulu :

3x - y + 2z = 15 | X 1 → 3x - y + 2z = 15
2x + y + z = 13  | X 2 → 4x + 2y + 2z = 26
                         ____________________ - 
                                       -x - 3y = -11 ......(iv)


2x + y + z = 13      |X2 4x + 2y + 2z = 26
3x + 2y + 2z = 24  |X1 3x + 2y + 2z = 24
                              ____________________ -     
                                                       x = 2 ......(v)

Karena dari persamaan (v) kita sudah mendapatkan nilai x, sekarang tinggal menggunakan metode substitusi terhadap persamaan (iv), sehingga :

-x - 3y = -11
-(2) - 3y = -11
         3y = -11 + 2
              = 9
           y = 3

Sekarang kita telah mendapatkan nilai y. Lansung saja substitusikan nilai x dan y pada salah satu persamaan i, ii, atau iii untuk mengetahui nilai z.

2x + y + z = 13
2(2) + 3 + z = 13
    4 + 3 + z = 13
          7 + z = 13
                z = 13 - 7
                   = 6

Maka himpunan penyelesaian dari ketiga persamaan tersebut adalah {2; 3; 6}

Demikianlah pembahasan singkat materi mengenai Cara Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV). Semoga dengan adanya artikel ini bisa membantu kalian dalam menyelesaiakan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Teruslah belajar dan belajar!

Rangkuman Materi Pembahasan Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Lengkap

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers - Sebelum mempelajari materi ini, sebaiknya kalian memahami Teori dan Konsep Himpunan Matematika. Fungsi atau pemetaan termasuk ke dalam relasi karena di dalam sebuah1 fungsi dari himpunan A ke himpunan B terdapat relasi khusus yang memasangkan tiap - tiap anggota yang ada pada himpunan A dengan tiap - tiap anggota pada himpunan B. Agar bisa menyelesaikan soal - soal mengenai fungsi komposisi dan invers tentu kita harus memahami dengan baik konsep ataupun prinsip dasar dari fungsi komposisi dan fungsi invers.

Pengertian Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Fungsi Komposisi

Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita bisa membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. Operasi komposisi bisa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran), fungsi baru yang bisa kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah :

(g o f) (x) artinya f dimasukkan ke g
(f o g) (x) artinya g dimasukkan ke f


Contoh Soal 1:
Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ...

Penyelesaian :
(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x
               = 3(2x) - 4
               = 6x - 4

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x
               = 2(3x - 4)
               = 6x - 8



Syarat Fungsi Komposisi

Contoh Soal 2:
Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :
f = {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}
g = {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}

Tentukan :
a. f o g                                d. (f o g) (2)
b. g o f                                e. (g o f) (1)
c. (f o g) (4)                         f. (g o f) (4)


Penyelesaian :
Pasangan terurut dari fungsi f dan g bisa digambarkan dengan diagram panah berikut ini :
a. (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}
b. (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}
c. (f o g) (4) = 5
d. (f o g) (2) = tidak didefinisikan
e. (g o f) (1) = -1


Sifat - Sifat Fungsi Komposisi

Fungsi Komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya :

Tidak Komutatif
(g o f)(x) = (f o g)(x)

Asosiatif
(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x))

Fungsi Identitas I(x) = x
(f o I(x) = (I o F)(x) = f(x)

Cara Menentukan Fungsi Bila Fungsi Komposisi dan Fungsi Yang Lain Diketahui

Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita bisa menentukan fungsi g demikian juga sebaliknya.

Contoh Soal 3 :
Misal fungsi komposisi (f o g)(x) = -4x + 4 dan f(x) = 2x + 2
Tentukan fungsi g(x)!

Penyelesaian :
(f o g) (x)    = -4x + 4
f (g (x))       = -4x + 4
2 (g (x)) + 2 = -4x + 4
2 g (x)         = -4x + 2
   g (x)         = -4x + 2
                           2
   g (x)         = -2x + 1
Jadi, fungsi g (x) = -2x + 1



Fungsi Invers

Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f^-1 :B -> A. Bisa disimpulkan bahwa daerah hasil dari f^-1(x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.

Cara Menentukan Fungsi Invers Bila Fungsi f(x) Telah Diketahui :

Pertama
Ubah persamaan y = f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y

Kedua
Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f^-1(y)

Ketiga
Ubah y menjadi x[f^-1(y) menjadi f^-1(x)]


Contoh Soal :

Demikianlah pembahasan materi mengenai Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers. Semoga kalian bisa memahami penjelasan dan contoh soal yang diberikan dengan mudah sehingga artikel ini bisa membantu kalain dalam menyelesaikan soal - soal yang berkaitan dengan materi ini. Selamat belajar!

Rangkuman Materi Materi Rumus Barisan dan Deret Geometri Lengkap Lengkap

Rumus Barisan dan Deret Geometri - Di dalam matematika terdapat dua jenis barisan dan deret. Yang pertama adalah barisan dan deret aritmatika dan yang kedua adalah barisan dan deret geometri. Dalam artikel sebelumnya telah disampaikan materi mengenai Barisan dan Deret Aritmatika, maka kali ini materi yang akan dibahas difokuskan kepada penjelasan mengenai definisi dan rumus - rumus yang digunakan dalam barisan dan deret geometri.

Pengertian dan Rumus Barisan Geometri

Barisan geometri didefinisikan sebagai barisan yang tiap - tiap sukunya didapatkan dari hasil perkalian sebelumnya dengan sebuah konstanta tertentu.

Contoh Barisan Geometri

3, 9, 27, 81, 243, ...

Barisan di atas merupakan contoh barisan geometri dimana setiap suku pada barisan tersebut merupakan hasil dari perkalian suku sebelumnya dengan konstanta 3. Maka disimpulkan bahwa rasio pada barisan di atas adalah 3. Rasio pada suatu barisan bisa dirumuskan menjadi :

r = ak + 1/ak

dimana ak adalah sembarang suku dari barisan yang ada. Sementara ak+1 adalah suku selanjutnya setelah ak.

Untuk menentukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri, kita bisa menggunakan rumus :

Un = ar^n-1

dimana a merupakan suku awal dan r adalah nilai rasio dari sebuah barisan geometri.


Perhatikan baik - baik penggunaan rumus di atas dalam menyelesaikan soal :

Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Geometri

Contoh Soal 1 :
Sebuah bakteri mampu melakukan pembelahan diri menjadi 4 setiap 12 menit. Berapakah jumlah bakteri yang ada setelah 1 jam apabila sebelumnya terdapat 3 buah bakteri?

Penyelesaian :
a = 3
r = 4
n = 1 jam/12 menit = 60/12 = 5

Masukkan ke dalam rumus
Un = ar^n-1
U5 = 3 x 4^5-1
      = 3 x 256
      = 768 bakteri

Pengertian dan Rumus Deret Geometri

Deret geometri bisa diartikan sebagai jumlah dari n suku pertama pada sebuah barisan geometri. Jika suku ke-n dari suatu barisan geometri digambarkan dengan rumus : an = a1r^n-1, maka deret geometrinya dijabarkan menjadi :

Sn = a1 + a1r + a1r² + a1r³ + ... + a1r^n-1

Apabila kita mengalikan deret geometri di atas dengan -r, lalu kita jumlahkan hasilnya dengan deret aslinya, maka kita akan memperoleh :

Setelah diperoleh Sn - rSn = a1 - a1rⁿ maka kita bisa mengetahui nilai dari suku n pertama dengan cara berikut :

Berdasarkan hasil perhitungan di atas, kita bisa menyimpulkan bahwa rumus jumlah n suku pertama pada sebuah barisa geometri adalah :

Perhatikan cara penggunaan rumus tersebut pada contoh soal berikut ini :

Contoh Soal Deret Geometri

Contoh Soal 2:
Tentukanlah jumlah 8 suku pertama dari barisan geometri 2, 8, 32, ...

Pembahasan :
a = 2
r = 4
n = 8

Sn = a (1-r) / (1-r)
     = 2 (1-4) / (1-4)
     = 2 (1 - 65536) / (-3)
     = 2 (-65535) / (-3)
     = 2 x 21845
     = 43690


Demikianlah pembahasan materi mengenai Rumus Barisan dan Deret Geometri dilengkapi Dengan Pembahasan Contoh Soal. Semoga kalian bisa memahami pembahasan materi ini dengan mudah sehingga kalian tidak akan mengalami kesulitan dalam menyelesaikan soal - soal yang berkaitan dengan artikel ini. Selamat belajar!