Maka penyelesaiannya adalah f(x) =
g(x), f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) tidak sama dengan 1.
Lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.
Tentukan
penyelesaian dari persamaan logaritma berikut
1.
5log 2x = 5log
20
2.
3log (3x + 1) = 3log
25
3.
xlog (2x + 3) = xlog
(x + 9)
4.
4log (5x + 4) = 3
5.
2log (2x2
+ 15) = 2log (x2 + 8x)
Jawaban:
1. 5log 2x = 5log
20
2x
= 20
x =
10
Jadi,
penyelesaiannya adalah x = 10.
2. 3log (3x + 1) = 3log
25
3x
+ 1 = 25
3x
= 24
x = 8
Jadi,
penyelesaiannya adalah x = 8.
3. xlog (2x + 3) = xlog
(x + 9), syaratnya x>0.
2x
+ 3 = x + 9
2x
– x = 9 – 3
x =
6
Jadi,
penyelesaiannya adalah x = 6.
4. 4log (5x + 4) = 3
4log
(5x + 4) = 4log 43
4log
(5x + 4) = 4log 64
5x
+ 4 = 64
5x
= 60
x =
12
Jadi,
penyelesaiannya adalah x = 12.
5. 2log (2x2
+ 15) = 2log (x2 + 8x)
2x2
+ 15 = x2 + 8x
2x2
– x2 – 8x + 15 = 0
x2
– 8x + 15 = 0
(x
– 3)(x – 5) = 0
x =
3 atau x = 5
Jadi, penyelesaiannya
adalah x = 3 atau x = 5.
Pertidaksamaan Logaritma
Dalam menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, langkah-langkah penyelesaiannya hampir sama dengan cara penyelesaian padapersamaan logaritma. Hanya saja lebih memperhatikan tanda ketidaksamaanya.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh berikut.
Tentukan
penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma berikut
1. 5log 3x + 5 < 5log
35
2. 3log (2x + 3) > 3log
15
3. 2log (6x + 2) < 2log
(x + 27)
4. 2log (5x – 14) < 6
5. 4log (2x2
+ 24) > 4log (x2 + 10x)
6. x+1log (2x – 3) < x+1log (x + 5)
7. 2x-5log (x2
+ 5x) > 2x-5log (4x + 12)
Jawaban:
1. 5log 3x + 5 < 5log
35
Syarat
nilai bilangan pada logaritma 3x + 5 > 0 atau x > -5/3 ..... (1)
3x
+ 5 < 35
3x
< 30
x <
10 ....(2)
Jadi
dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian -5/3 < x < 10.
2. 3log (2x + 3) > 3log
15
Syarat
nilai bilangan pada logaritma 2x + 3 > 0 atau x > -3/2 ..... (1)
Perbandingan
nilai pada logaritma
2x
+ 3 > 15
2x
> 12
x >
6 ....(2)
Jadi,
dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian x > 6.
3. 2log (6x + 2) < 2log
(x + 27)
Syarat
nilai bilangan pada logaritma:
6x
+ 2 > 0, maka x > -1/3 .... (1)
x +
27 > 0, maka x > -27 ..... (2)
Perbandingan
nilai pada logaritma
6x
+ 2 < x + 27
6x
– x < 27 – 2
5x
< 25
x <
5 ..... (3)
Jadi,
dari (1), (2),dan (3) diperoleh penyelesaian -1/3 < x < 5
4. 2log (5x – 16) < 6
Syarat
nilai bilangan pada logaritma:
5x
– 16 > 0, maka x > 16/5 .... (1)
Perbandingan
nilai pada logaritma
2log
(5x – 16) < 2log 26
2log
(5x – 16) < 2log 64
5x
– 16 < 64
5x
< 80
x <
16 . . . . (2)
Jadi,
dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian 16/5 < x < 16.
5. 4log (2x2
+ 24) > 4log (x2 + 10x)
Syarat
nilai pada logaritma.
2x2
+ 24 > 0 (definit positif). Jadi, berlaku untuk setiap x . . . (1)
x2
+ 10x > 0, maka x < -10 atau x
> 0 . . . . (2)
Perbandingan
nilai pada logaritma
(2x2
+ 24) > (x2 + 10x)
2x2
- x2 - 10x + 24 > 0
x2
- 10x + 24 > 0
(x
– 4)(x – 6) >
x <
4 atau x > 6 ....(3)
Jadi, dari (1), (2), dan
(3) diperoleh penyelesaian x < -10 atau x > 6.
6. x+1log (2x – 3) < x+1log (x + 5)
Syarat nilai pada bilangan x+1>0
Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0<x+1<1 dan x+1>1, sehingga diperoleh batas-batas berikut.
Untuk 0<x+1<1 atau -1 < x <0. . . (1)
Syarat
nilai pada logaritma.
2x – 3 > 0, maka x>3/2 . . . (2)
x + 5 > 0, maka x > -5 . . . (3)
Perbandingan
nilai pada logaritma
(2x – 3) > (x + 5)
2x
- x > 5 + 3
x > 8 ...(4)
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dam (4), tidak ada irisan penyelesaian.
Untuk x+1>1 atau x > 0 . . . (1)
Syarat
nilai pada logaritma.
2x – 3 > 0, maka x>3/2 . . . (2)
x + 5 > 0, maka x > -5 . . . (3)
Perbandingan
nilai pada logaritma
(2x – 3) < (x + 5)
2x
- x < 5 + 3
x < 8 ...(4)
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 3/2 <x < 8.
Jadi, penyelesaiannya adalah 3/2 <x< 8.
7. 2x-5log (x2
+ 5x) > 2x-5log (4x + 12)
Syarat nilai pada bilangan 2x-5 > 0
Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0<2x-5<1 dan 2x-5>1, sehingga diperoleh batas-batas berikut.
Untuk 0< 2x-5 <1 atau 5/2 < x < 3 . . . (1)
Syarat
nilai pada logaritma.
x2
+ 5x > 0, maka x < -5 atau x > 0 . . . (2)
4x + 12 > 0, maka x > -3 . . . (3)
Perbandingan
nilai pada logaritma
(x2
+ 5x) < (4x + 12)
x2
+ 5x - 4x - 12 < 0
x2
+ x - 12 < 0
(x
+ 4)(x - 3) < 0
-4 < x < 3 . . . . . (4)
Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 5/2 < x < 3.